Prueba $3|n(n+1)(n+2)$ por inducción

Question

Traté de demostrar inductivamente pero realmente no ir dondequiera. Por lo que he intentado:

Que $3|n(n+1)(n+2)$.

Entonces $3|n^3 + 3n^2 + 2n \Longrightarrow 3|(n(n(n+3)) + 2)$

¿Pero entonces?

Answer 1

Aquí está una prueba por inducción.

El caso base $n=0$ $n=1$ es trivial.

Supongamos que divide a que $3$ $n(n+1)(n+2)$ y $(n+1)(n+2)(n+3)$ tener en cuenta. Ampliar en $n+3$ y reciba $(n+1)(n+2)(n+3) = n(n+1)(n+2)+3(n+1)(n+2)$. Ya que por hipótesis $3$ divide el primer término claramente divide el segundo de ellos, debe dividir la suma.

Esta prueba se puede generalizar a $k \mid n(n+1)\cdots(n+k-1)$ utilizando la misma técnica.

Answer 2

Usted puede escribir $n=3\cdot k + r$ $k\in \mathbb{N}$ y $r\in \{0,1,2\}$. Entonces exactamente uno de $n,n+1,n+2$ es divisible por 3.

Answer 3

Para hacerlo inductivamente, necesitamos también un caso base: es divisible por $0 \times 1 \times 2=0$ $3$. Entonces, si divide el $3$ $k(k+1)(k+2)=k^3+3k^2+2k$ entonces \begin{align*} (k+1)(k+2)(k+3) &= k^3+6k^2+11k+6 \\ &= (k^3+3k^2+2k)+3(k^2+3k+2). \end{align*} sabemos que es divisible por $k^3+3k^2+2k$, por la hipótesis inductiva, $3$ y $3(k^2+3k+2)$ es divisible por $3$ $k^2+3k+2$ es un entero. Por lo tanto, por inducción, es divisible por $k(k+1)(k+2)$ % todo $3$$k \geq 0$.

Nota, si queremos probar negativos $k$ demasiado, nos tendría que realizar "inducción a la inversa".

Answer 4

Los coeficientes binomiales son enteros todos (varias pruebas). Por lo tanto $$\binom r3=\frac {r(r-1)(r-2)}{6}$$ is an integer. Let $r = n + 2 $, then $6 $ is a factor of your product and $3 | 6$.

De manera similar se puede demostrar que el producto de $k$ enteros consecutivos es divisible por $k!$ - esta leva también hacerse por inducción (que está oculto en la declaración "los coeficientes binomiales son enteros todos" e implícitos en la construcción del triángulo de Pascal.

Answer 5

Considerar el binomio $(x+1)^{n+2}$. El coeficiente de la $x^3$ plazo es

$${n+2\choose 3}={(n+2)!\over 3!(n-1)!}={n(n+1)(n+2)\over 6}$$

Cada coeficiente de $(x+1)^n$ es un número entero para $n$ un entero, por lo tanto, $6|n(n+1)(n+2)$ e lo $3|n(n+1)(n+2)$.

Tenga en cuenta que este mecanismo se puede aplicar a cualquier número entero, incluyendo mostrando que $1000|n(n+1)(n+2)\cdots(n+998)(n+999)$.

Como se ha señalado en otra parte, esta propiedad de los coeficientes binomiales es comprobable por inducción, que demuestra que una prueba inductiva es realmente la forma correcta de mostrar la cuestión de la propiedad. En términos del binomio, el paso inductivo se produce señalando que

$${n\choose k-1}+{n\choose k}={n+1\choose k}$$