¿Por qué números hyperreal se construyen tan complicado?

Question

He visto aproximaciones a la construcción de sistemas de hyperreal utilizando nociones complejas como ultrafilters y similares.

¿Por qué no a postular la existencia del elemento infinitesimal $\varepsilon$ y % infinito $\omega=1/\varepsilon$como hacemos con números complejos y construir un sistema de campo a su alrededor?

Answer 1

Hay maneras de construir un campo lanzando en un infinitesimal a los reales y, a continuación, todo lo que necesitas. Por ejemplo, el campo formal de la serie de Laurent (ordenadas de modo que monomials con coeficientes positivos son la primera ordenada por el poder de la x, por ejemplo,$0 <x <1<100<1/x$) es básicamente eso. La de Levi-Civita de campo es similar.

Sin embargo, ni la de los que realmente tienen las propiedades necesarias para responder a las preguntas acerca del cálculo. Usted necesita para lanzar una gran cantidad de en la manera correcta para obtener todos los enunciados sencillos para pasar a través de, como Nate Eldredge aludido.

Como un aparte, la idea básica detrás de la construcción no es demasiado complicado. Me gusta Terry Tao en la votación de la analogía. Un hyperreal es una secuencia de reales de los que voto cada vez que usted pregunta acerca de una propiedad (como "eres más grande que 5?"). Cómo determinar que las colecciones infinitas de los votantes cuentan como buenas las mayorías es manejado por algunas cosas técnicas, pero usted no tiene que preocuparse de que para hacerme a la idea.

Answer 2

Una buena razón para utilizar el hyperreals $\mathbb{R}^*$ como se construye utilizando un nonprincipal ultrafilter es que cumplen una transferencia de principio (como lo hacen las otras versiones de la NSA, por ejemplo IST). Esto significa en particular que cada función $f$ o relación $R$ en los reales puede ser "ampliado" a una función $f^*$ o relación $R^*$ sobre el hyperreals de tal manera que un primer pedido de declaración sobre la $\mathbb{R}$ es verdadera si y sólo si el correspondiente agrandamiento de la declaración es verdadera de $\mathbb{R}^*$.

La existencia de las ampliaciones es útil cuando usted tiene algún estándar de la función que se desea extender a una configuración no estándar. Si quieres trabajar en $\mathbb{R}((\epsilon))$ por ejemplo, el "derecho" de la definición de $\cos(\epsilon)$ es claramente $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \epsilon ^{2n} / (2n)!$ (a pesar de lo $e^{-1/\epsilon}$ debe ser no está tan claro). Pero si tengo alguna función real que no puede ser expresado por una potencia de la serie, ¿cómo debe ser definido en $\epsilon$? La transferencia de principio permite esquivar este problema.

Answer 3

¡Cuestiones de detalles!

Por ejemplo, si usted sólo postula la existencia de naturales infinitamente grandes tendrás problemas porque

$\{\omega \in \Bbb{N} \ : \ \omega \ \mbox{is infinitely big}\}$

es un conjunto no vacío sin mínimo.

Las complican construcciones surgido para evitar esto y muchas otras deficiencias que podrían aparecer si no somos lo suficientemente cuidadosos.