Hilbert 10 del problema a través de más de $\mathbb{Q}$/Mazur de la conjetura. Estos son dos problemas abiertos que apuntan en direcciones opuestas, y creo que los expertos en realidad no es seguro que la manera de adivinar.
Hilbert 10 del problema por $\mathbb{Q}$ existe un algoritmo que, dada una colección de ecuaciones polinómicas con coeficientes racionales, tienen una solución racional?
El problema está abierta. Aquí están las heurísticas de cada manera. Por el "no".
Individual diophantine ecuaciones son realmente duros. Piense en cómo muchos matemáticos trabajaron para demostrar $x^n+y^n=1$ no tiene soluciones distintas de $(0,1)$ $(1,0)$ para los distintos valores de $n$. Es muy plausible que todo su trabajo podría ser reducido a la ejecución de un algoritmo?
No existe tal algoritmo sobre $\mathbb{Z}$. (Matiyasevich-Robinson-Davis-Putnam)
Para el "sí":
- Hay poderosas teoremas y conjeturas acerca de diophantine ecuaciones tener un número finito de soluciones. Por ejemplo, Mordell de la Conjetura (ahora Falting del Teorema) de inmediato nos dice que hay un número finito de puntos racionales en $x^n+y^n=1$ cualquier $n$. Si el Bombieri-Lang conjetura se demostró, que no parece imposible, tendríamos mucho más poderosas herramientas. Y mientras finito no es igual a cero, hemos desarrollado una gran cantidad de herramientas para encontrar a aquellos un número finito de soluciones en muchos casos. Ver Bjorn Poonen del curso notas para una encuesta.
Pero aquí es realmente frustrante. Supongamos que usted cree que la respuesta es "no". Entonces usted probablemente querrá demostrar que se puede codificar la detención problema como una pregunta acerca de diophantine ecuaciones (este era el MDRP fue probado), o bien codificar la solución de diophantine ecuaciones más de $\mathbb{Z}$ en la resolución de diophantine ecuaciones más de $\mathbb{Q}$. Con el fin de hacer esto, tendría que presumiblemente escribir algunas diophantine ecuación cuyas soluciones se parecía a la de los estados de una máquina de Turing universal, o se parecía a $\mathbb{Z}$. En cualquier caso, probablemente habría una infinidad de soluciones, se propagan de forma discreta. Y por lo tanto, que se ejecuta en
Mazur de la conjetura Dado cualquier conjunto de ecuaciones polinómicas $\mathbb{Q}$ $n$- variables, vamos a $X(\mathbb{Q})$ el conjunto de sus soluciones y deje $\overline{X(\mathbb{Q})}$ ser la topológico cierre de $X(\mathbb{Q})$$\mathbb{R}^n$. A continuación, $\overline{X(\mathbb{Q})}$ tiene un número finito de componentes conectados.
Por lo que la dificultad general de diophantine ecuaciones conduce a uno a imaginar que el problema es irresoluble, pero Mazur de la conjetura de los bloques de la más plausible de la ruta a probar que es irresoluble. Por supuesto, uno puede imaginar que diophantine ecuaciones más de $\mathbb{Q}$ son irresolubles, y sin embargo no puede codificar una máquina de Turing. Creo que no está claro si la mayoría de los problemas insolubles son irresolubles porque ellos son equivalentes a Detener problema, o sea que es (esencialmente) el único tipo de problema sabemos cómo demostrar que es irresoluble.
