Demostrar que $\log_{36} 30 $ es número irracional.

Question

Demostrar que $\log_{36} 30 $ es número irracional.

Podemos suponer que $\log_{36} 30 $ es número racional. Así que tenemos que $\log_{36} 30 = \frac{p}{q}$ donde $\gcd(p,q) = 1$. Por definición de logaritmo tenemos $36^{\frac{p}{q}} = 30$ así $36^p=30^q$. Y ahora tengo que demostrar que no existe estos números $p,q$. ¿Cómo puedo hacerlo?

Answer 1

En la igualdad

$$36^p = 30^q $$

como

1) $36$ que termina en $6$, $36$ % a la energía de que cualquier cosa siempre termina en $6$,

2) $30$ que termina en $0$, $30$ a la energía de cualquier cosa siempre termina en $0$,

para que dígito de unidades diferentes se demuestra que para ningún entero esta igualdad es posible excepto p y q como $0$ $q\neq0$ según la definición de la racionalidad, por lo tanto demostró que p, q no existe para esta igualdad

Answer 2

Así pues, tenemos $(6^2)^p=(6\cdot 5)^q\implies 6^{2p-q}=5^q$

Necesitamos $(6,5)=1$ $q=2p-q=0$ que es imposible como $q\ne0$

Answer 3

Sugerencia: Tenga en cuenta que si divide a $q\ge 1$, entonces el $5$ $30^q$.

Answer 4

Una forma es confiar en el hecho de que prime factorizaciones de números enteros son únicos. Incluye el el número $30^q$ $5$ entre sus factores primeros, pero no $36^p$.