Evaluar

Question

Cómo evaluar la integral $$\int_{25\pi / 4}^{53\pi / 4}\frac{1}{(1+2^{\sin x})(1+2^{\cos x})}dx\ ?$ $

Answer 1

Deje $u(x)=1/((1+2^{\sin x})(1+2^{\cos x}))$$a=\pi/4$.

• Si $t=2a-x$ $(\sin(x),\cos(x))=(\cos(t),\sin(t))$ por lo tanto $$u(x)=u(t).$$
• Si $t=x-2a$ $(\sin(x),\cos(x))=(\cos(t),-\sin(t))$ por lo tanto $$u(x)=2^{\sin(t)}u(t).$$
• Si $t=4a-x$ $(\sin(x),\cos(x))=(\sin(t),-\cos(t))$ por lo tanto $$u(x)=2^{\cos(t)}u(t).$$
• Si $t=x-4a$ $(\sin(x),\cos(x))=(-\sin(t),-\cos(t))$ por lo tanto $$u(x)=2^{\sin(t)}2^{\cos(t)}u(t).$$

El uso de cada uno de estos cambios de la variable $x\to t$ en los intervalos de $(a,2a)$, $(2a,3a)$, $(3a,4a)$ y $(4a,5a)$ respectivamente, uno ve que la integral de $u$ $(a,5a)$ puede ser escrito como la integral en $(0,a)$ de la suma de cuatro funciones, a saber, $$ \int_a^{5a}u(x)\mathrm dx=\int_0^{a}u(t)\,(1+2^{\sin(t)}+2^{\cos(t)}+2^{\sin(t)}2^{\cos(t)})\mathrm dt. $$ El integrando en $t$ simplifica en $1$, por lo tanto $$ \int_a^{5a}u(x)\mathrm dx=un. $$ Lo mismo se aplica a la integral de la $u$ en cada intervalo de $(a+4na,a+4(n+1)a)$ para algunos entero $n$. Puesto que el intervalo de $(25\pi/4,53\pi/4)$ es la unión de $7$ de estos (los intervalos tales que $6\leqslant n\leqslant12$), se obtiene finalmente $$ \int_{25\pi/4}^{53\pi/4}u(x)\mathrm dx=7a=7\pi/4. $$

Answer 2

Para cualquier función integrable $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ % período $T$y cualquier $a,b\in\mathbb{R}$ tenemos $$ \int_{b}^{b+T} (x)dx f = \int_ {un} ^ {T +} f (x)dx\tag {1} $ y como consecuencia para $k\in\mathbb{N}$ $$ k\int_ {b} ^ {b + T} (x)dx f = \int_ {un} ^ {a + kT} f (x)dx\tag {2} $$ también para cualquier % integrable $f$tenemos $$ \int\limits_{-c}^c f(x)dx=\int\limits_{0}^{c}(f(x)+f(-x)) dx\tag {3} $$

Ahora pasamos a evaluación $$\begin{align} I_1 &=\int_{25\pi/4}^{29\pi/4}\frac{1}{(1+2^{\cos x})(1+2^{\sin x})}dx\\ &=\int_{\pi/4+3\cdot 2\pi}^{5\pi/4+3\cdot 2\pi}\frac{1}{(1+2^{\cos x})(1+2^{\sin x})}dx\\ &\overset{(1)}{=}\int_{\pi/4}^{5\pi/4}\frac{1}{(1+2^{\cos x})(1+2^{\sin x})}dx\\ &=\int\limits_{\pi/4}^{3\pi/4}\left(\frac{1}{(1+2^{\cos x})(1+2^{\sin x})}+\frac{1}{(1+2^{\cos (x+\pi/2)})(1+2^{\sin (x+\pi/2)})}\right)dx\\ &=\int\limits_{\pi/4}^{3\pi/4}\frac{dx}{1+2^{\cos x}}\\ &=\int\limits_{\pi/4}^{\pi/2}\left(\frac{1}{1+2^{\cos x}}+\frac{1}{1+2^{\cos (\pi-x)}}\right)dx\\ &=\int\limits_{\pi/4}^{\pi/2}dx\\ &=\frac{\pi}{4}\\ \end {Alinee el} $$ $$\begin{align} I_2 &=\int_{29\pi/4}^{53\pi/4}\frac{1}{(1+2^{\cos x})(1+2^{\sin x})}dx\\ &=\int_{29\pi/4}^{29\pi/4+3\cdot 2\pi}\frac{1}{(1+2^{\cos x})(1+2^{\sin x})}dx\\ &\overset{(2)}{=}3\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1}{(1+2^{\cos x})(1+2^{\sin x})}dx\\ &\overset{(3)}{=}3\int\limits_{0}^{\pi} \left(\frac{1}{(1+2^{\cos x})(1+2^{\sin x})}+\frac{1}{(1+2^{\cos (-x)})(1+2^{\sin (-x)})}\right)dx\\ &=3\int\limits_{0}^{\pi}\frac{dx}{1+2^{\cos x}}\\ &=3\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{dx}{1+2^{\cos (x+\pi/2)}}\\ &\overset{(3)}{=}3\int\limits_{0}^{\pi/2}\left(\frac{1}{1+2^{\cos (x+\pi/2)}}+\frac{1}{1+2^{\cos (-x+\pi/2)}}\right)dx\\ &=3\int\limits_{0}^{\pi/2}=\frac{3\pi}{2}\\ \end {Alinee el} $$ finalmente $$ me = I_1 + I_2 = \frac {7\pi} {4} $$