Seguimiento sobre las formas de intersección

Question

Para que espacios topológicos $X$ puedo definir a una intersección en forma de $b(\cdot, \cdot)$?

Sé que al menos un ejemplo: Si $X$ es un cerrado orientable $2n$-colector, a continuación, se puede definir a una intersección en forma mediante la definición de $b(c_1, c_2)$ a ser la copa del producto de dos representantes de dos elementos en el $k$-ésimo grupo de homología $H_k$.

Pero uno puede generalizar y caer en la condición de orientability y todavía definir una intersección forma: en lugar de tomar un anillo arbitrario $R$ de los coeficientes de las homologías $H_k$ se puede considerar $R = \mathbb Z / 2 \mathbb Z$, de modo que orientability se convierte en irrelevante, ya que $\mathbb Z / 2 \mathbb Z$ tiene un solo generador, $1$.

Leyendo el artículo sobre la copa del producto , aunque sugiere que la copa del producto puede ser definido en forma arbitraria de espacios topológicos. Lo que significaría que tengo una forma bilineal para cualquier espacio topológico. (lo que estaría en contradicción con esta respuesta que recibí en uno de mis anteriores preguntas con respecto a esto).

Pregunta 1.1: ¿Qué me estoy perdiendo? ¿Por qué no puedo definir la copa del producto en cualquier espacio topológico y, por lo tanto, una forma bilineal (y por lo tanto a una intersección en forma) en cualquier espacio topológico?

La pregunta 1.2: ¿Qué propiedad de un colector de que un espacio topológico no tiene para llegar a una intersección en forma? (seguramente la respuesta no puede ser orientability ya que queremos elegir los coeficientes mod dos de todos modos)

Pregunta 2: ¿Qué quiero hacer con esto es, quiero tomar mi forma bilineal en mi espacio y, a continuación, convertirlo en una forma cuadrática $q(x) = b(x,x)$, elija un simpléctica base y, a continuación, calcular la Ira invariante. ¿Que me dan los requisitos adicionales que para mi espacio de $X$ con el fin de ser capaz de hacer eso?

Answer 1

Ad 1.1. : véase Anuncio 1.2.

Ad 1.2. : Colectores tienen varias propiedades que se utilizan aquí. Fácil es la dimensión. Un colector $M$ tiene una bien definida dimensión decir $n$. La segunda cosa es que no tiene una "clase fundamental", al menos en el caso compacto. (no hablemos de compacto cohomology por el momento). Esto significa que hay un isomorfismo $H^n(M,\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ (si el colector es orientable puede sustituir a$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$$\mathbb{Z}$. Y tal vez una tercera cosa es Poicaré la Dualidad. Esto implica que si el colector $M$ incluso ha dimensión$2n$, a continuación, el mapa de $H^n(M,\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \otimes H^n(M,\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \to H^{2n}(M,\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ es no degenerada, que indica, en particular, que no es cero (algo que no se podía garantizar incluso si usted tenía homólogos de dimensión y clases fundamentales).

Así que para resumir, para una intersección de producto en un espacio general para tener una taza de producto (este), sino que quieren saber que algunos abstractos cohomology es isomorfo a un timbre específico en el que el producto vidas.. donde este debe provenir en general?

Respecto de la pregunta 2, no sé cómo esto debería funcionar para arbitrario de espacios, debido a los problemas descritos anteriormente..

Espero que esto ayude.