ecuación exponencial

Question

$$\sqrt{(5+2\sqrt6)^x}+\sqrt{(5-2\sqrt6)^x}=10$$

Así que me he cuadrado ambos lados y tiene:

$$(5-2\sqrt6)^x+(5+2\sqrt6)^x+2\sqrt{1^x}=100$$

$$(5-2\sqrt6)^x+(5+2\sqrt6)^x+2=100$$

No sé qué hacer ahora

Answer 1

Mientras este problema sucumbe a la escuela secundaria de álgebra, con un poco de álgebra de colegio uno puede ir mucho más allá para derivar las recurrencias y la adición de la fórmula para la potencia sumas $\rm\ s_n\: =\ w^n + w'^n\ $ de las raíces de cualquier polinomio cuadrático $\rm\ f(x)\ =\ (x-w)\ (x-w')\ =\ x^2 - b\ x + c\:.\ $ es decir, tenemos $\rm\ s_{n+1}\ =\ b\ s_n - c\ s_{n-1}\ $ y, más en general, poniendo a la recurrencia en la forma de la matriz (por ejemplo, véase el caso de Fibonacci) los rendimientos de la adición de fórmula $\rm\ s_{m+n} = s_m\ s_n - c\ s_{m-n}\:.\: $ Esto permite un rápido cálculo de la secuencia por lo que las cantidades a repetirse el cuadrado de la matriz que representa el operador de desplazamiento (por ejemplo, véase el citado caso de Fibonacci). Por ejemplo, si queremos obtener una duplicación de la fórmula a través de $\rm\:m=n\:$ en la adición de la fórmula: $\rm\ s_{\:2\:n}\ =\ s_n^2 - c\ s_0\ =\ s_n^2 - 2\:.\:$ En el ejemplo a la mano tenemos $\rm\ s_0,\ s_1,\:\ldots\ =\ 2,10,98,970,9602,95050,940898\ =\ s_6\ $ y, de hecho, $\rm\ s_6\ =\ s_3^2 - 2\ =\ 970^2-2\:.\ $ Este es un caso especial de los resultados generales acerca de Lucas-Lehmer secuencias. Para una mayor discusión ver Ribenboim: El Nuevo Libro del Primer Número de Registros.

Answer 2

Ya has visto que $(5-2\sqrt{6})(5+2\sqrt{6})=1$ cuando usted al cuadrado a ambos lados. Esto significa que el $5-2\sqrt{6}=\frac{1}{5+2\sqrt{6}}$, por lo que la última ecuación puede ser reescrita como $$\left(\frac{1}{5+2\sqrt6}\right)^x+(5+2\sqrt6)^x+2=100$ $ o, dejando que $y=(5+2\sqrt{6})^x$, $$\frac{1}{y}+y+2=100$ $ % que $$1+y^2+2y=100y$$ que es cuadrática en $y$. Solucionar esto para $y$, y luego usar esta solución para resolver $x$.

Answer 3

Observe que $(5 - 2\sqrt{6}) = \frac{1}{5+2\sqrt{6}}$.

Así, si ponemos $a = 5+ 2 \sqrt{6}$, que tenemos\begin{equation} a^x +a^{-x} +2 = 100. \end{equation} la expresión anterior es simétrica en $x$, $x = k$ es una solución, $x = -k$ también es una solución. Considerar el $f(x) = a^x +a^{-x} +2$ $x>0$. Puede mostrar que esta es una función creciente para $x > 0$. Esto implica que puede haber como máximo un valor de $x>0$ para que se cumpla la igualdad. Usted puede comprobar por sustitución que $x = 2$ es una solución. Por lo tanto, las soluciones sólo para la ecuación son $x = +2$ y $x=-2$.

Answer 4

Algo extraño es posible encontrar una solución de la ecuación simplemente por darse cuenta $$\left(5+2\sqrt6\right)+\left(5-2\sqrt6\right)=10$ $ y una vez que sepa $5+2\sqrt{6} = \frac{1}{5-2\sqrt{6}}$ entonces usted puede encontrar el otro.