Encuentre el centro del grupo de simetría Sn.

Question

Encontrar el centro de el grupo de simetría $S_n$.

Intento: Por definición, el centro es $Z(S_n) = \{ a \in S_n : ag = ga \forall\ g \in S_n\}$. Entonces sabemos que la identidad de $e$ $S_n$ ya que siempre existe el trivial de permutación. Supongamos $a$$S_n$, pero no es igual a la identidad. Ahora podemos imaginar la permutación como bijective función que se asigna a de$\{1,2,\dotsc,n\}$$\{1,2,\dotsc,n\}$. Así que supongamos $p$ es una permutación de mapa. A continuación, $p$ mapas a partir de una ubicación de $i$$j$. Tome $p(i) = j$ donde $i\neq j$. Deje $k$$\{1,2,\dotsc,n\}$, donde $k$, $i$ y $j$ son todos diferentes elementos. El ciclo de $r = (jk)$, entonces vamos a ver si este desplazamientos. $rp(i) = rj$
Por favor alguien puede ayudarme, estoy atascado? Gracias.

Answer 1

Aquí es otra prueba basada en el hecho de que el centro de cualquier grupo es, precisamente, el conjunto de elementos cuyas clases conjugacy son los únicos.

Para $S_n$, el conjugacy las clases son en bijection con particiones de $n$ (desde conj. las clases están determinadas por el tipo de ciclo.) Nos vamos a centrar en $n\geq 3$ desde $S_2$ es abelian. Por lo tanto, fijar arbitrariamente el no aumento de la partición de $\lambda_1,\cdots,\lambda_k$$n$, cuya mayor parte es $>1$ (de lo contrario, el conj. clase de la identidad).

La clase conjugacy de $\sigma = (1\cdots\lambda_1)(\lambda_1{+}1\ \cdots\ \lambda_1{+}\lambda_2)\cdots((\sum_{i=1}^{k-1}\lambda_i){+}1\ \cdots\ n)$ tiene un elemento distinto de $\sigma$ ya que podemos pasar de 1 y 3 (recuerden $\lambda_1>1$$n\geq 3$). Por lo tanto no hay ninguna que no sea trivial clases conjugacy con sólo 1 elemento para $n\geq 3$, por lo que el centro de $S_n$, $n\geq 3$, es trivial.

Answer 2

Si $n=2$; $S_2$ es cíclico de orden $2$, por lo que es abelian y $Z(S_2)=S_2$.

Supongamos $n>2$. Si $\sigma \in S_n$ no es la identidad, luego pasa al menos una de las cartas de $i$, decir $\sigma(i)=k$ y desde $i\neq k$, también se mueve $k$, decir $\sigma(k)=j$. Se puede producir una permutación (uno simple, no pensar demasiado) que no conmuta con $\sigma$?

Spoiler Por ejemplo, decir $\sigma(i)=k$$\sigma(k)=i$; (por lo $i=j$), y $\sigma$ es de la forma$\sigma=(ij)\tau$,$\tau(ij)=\tau(ji)$. Tenga en cuenta que $\tau$ corrige $i,j$, y no se puede asignar algo a $i$ o $j$. A continuación, considere la posibilidad de $(i\ell)$, una transposición. A continuación, $\sigma(i\ell)$ no mapa $i$$j$: si $\tau$ mueve $\ell$, se mueve a $i$ a algo diferente de $j$; y si $\tau$ no se mueve $\ell$, $i\to\ell$ -- pero $(i\ell)\sigma$ mapas de $i\to j$, lo $(i\ell)\sigma\neq \sigma(i\ell)$.

Queda ver lo que sucede cuando las $i\neq j$; pero no debería ser demasiado difícil.