una bola unitaria cerrada en un espacio de Banach es cerrada en la topología débil

Question

Dejemos que $V$ sea un espacio de Banach. Demuestre que la bola unitaria cerrada en $V$ también es cerrado en la topología débil.

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Sé que esto es una consecuencia de la afirmación cualquier subconjunto convexo cerrado en $V$ es cerrado en la topología débil, para cuya demostración se utilizó el teorema geométrico de Hahn-Banach. Mi pregunta es: ¿tiene este problema una demostración elemental sin usar Hahn-Banach? Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Al principio quería seguir el razonamiento mostrado en "Brezis - Functional Analysis Sobolev Spaces and Partial Differential Equations" en las páginas 59-60, riasumido en esta identidad $$B_V =\bigcap_{f \in V^*,\|f\| \leq 1} \{x \in V \mid |\langle f,x \rangle | \leq 1 \}$$ (dos palabras al respecto: se basa en la caracterización de conjunto abierto/cerrado en la topología débil y en la propiedad de la norma operativa y -obviamente- en algunos corolarios de HB, existencia de $f_{x_0}$ tal que $f(x_0)=\|x_0\|$ y $\|f_{x_0}\|=1$ ) y así sería no apto para la pregunta aquí.

Pero aquí hay un uso más profundo de HB. Un corolario inmediato de HB (adaptado a estas hipótesis) es

Corolario . Sea $V$ un espacio de Banach no trivial, entonces $V^*$ no es trivial (contiene otros elementos además del mapa cero)

Sin HB no hay nada (modulo formas equivalentes de la misma) (que yo sepa al menos) que nos otorgue la no trivialidad de $V^*$ en el caso de dimensión infinita, obviamente. Sin asumir que HB la primera intersección es no vacío pero no se puede refinar más que $$\bigcap_{f \in V^*,\|f\| \leq 1} \{x \in V \mid |\langle f,x \rangle | \leq 1 \} = V$$ porque no tenemos (no podemos escribir explícitamente) ningún otro funcional que el mapa cero.

En este caso (bastante patológico), la topología débil podría ser la trivial, el único conjunto abierto es $V$ y así $B_v$ no está cerrado, y esta observación debería mostrar el profundo problema en no asumiendo HB .

Answer 2

Si $x_n \to x$ débilmente entonces tenemos que $\lambda x_n \to \lambda x$ para todos $\lambda \in V^*$ y $|\lambda x_n| \leq \|\lambda\| \|x_n\|$ . Dividiendo ambos lados por $\|\lambda\|$ da $$ \frac{|\lambda x_n|}{\|\lambda \|} \leq \|x_n\|.$$ Tomando $n \to \infty$ y sustituyendo en $\|x\| = \sup_{\lambda \in V^*} \frac{|\lambda x|}{\|\lambda \|}$ da $$\|x\| \leq \liminf_{n \to \infty} \|x_n\|.$$ Entonces, cualquier límite $x$ de $x_n$ con $\|x_n \| \leq 1$ para todos $n$ tendrá necesariamente $\|x\| \leq 1$ .