Me subí las mangas e hice el cálculo para $M^2 \subseteq \Bbb R^4$ . Lo publicaré aquí, pero dejaré la pregunta abierta un tiempo por si alguien ve una forma no medieval de hacerlo.
En primer lugar, tome $\{e_1,e_2\}$ una base ortonormal positiva de $T_xM$ y elegir cualquier base ortonormal positiva $\{n,\nu\}$ de $T_xM^\perp$ con $\{e_1,e_2,n,\nu\}$ siendo de nuevo una base ortonormal de $T_x(\Bbb R^4)$ . Observamos que $\det(e_1,e_2,n,\nu) = 1$ para que $$dM(v,w) = \det(v,w,n,\nu)$$ es la forma del área en $M$ . Hagamos una rápida comprobación de la realidad y veamos que esto no depende de nuestra elección de $n$ y $\nu$ . Si $n',\nu'$ es otra opción con las propiedades anteriores, escriba $$n' = (\cos t) n + (\sin t) \nu, \quad \nu' = (-\sin t) n + (\cos t) \nu$$ para algunos convenientes $t$ . Usando eso $\det$ es multilineal, es fácil ver que $$\det(v,w,n,\nu)=\det(v,w,n',\nu')$$ para todos $v$ y $w$ . Ahora escribe $n = (n^1,\cdots,n^4)$ y $\nu = (\nu^1,\cdots,\nu^4)$ y de forma similar para $v$ y $w$ . Recordemos que $$dx^i \wedge dx^j(v,w) = \begin{vmatrix} v^i & v^j \\ w^i & w^j\end{vmatrix}.$$ Entonces usted toma $$dM(v,w) = \begin{vmatrix} v^1 & v^2 & v^3 & v^4 \\ w^1 & w^2 & w^3 & w^4 \\ n^1 & n^2 & n^3 & n^4 \\ \nu^1 & \nu^2 & \nu^3 & \nu^4 \end{vmatrix}$$ y ampliarlo en la fila inferior para obtener una combinación de $3 \times 3$ subdeterminantes con algunos signos y coeficientes $\nu_i$ . Entonces se expanden estos subdeterminantes por sus filas inferiores de nuevo, y después de un poco de dolor y sufrimiento se obtiene $$dM= \sum_{1 \leq i<j\leq 4}(-1)^{i+j-1}\begin{vmatrix} n_{i'} & n_{j'} \\ \nu_{i'} &\nu_{j'}\end{vmatrix}dx^i \wedge dx^j,$$ donde $i'<j'$ son los índices restantes (¿hay alguna forma de escribirlo con claridad?).
En la práctica, si se tiene una parametrización $\varphi\colon U \subseteq \Bbb R^2 \to M \subseteq \Bbb R^4$ uno de los vectores de la base estándar no será tangente a $M$ digamos, $e_4$ . Entonces toma $n = \varphi_u\times \varphi_v \times e_4$ normalizado y $\nu = \varphi_u \times \varphi_v \times n$ normalizado, y arreglar algunas señales si es necesario.
Se puede imaginar el caso general de $M^k \subseteq \Bbb R^n$ , recogiendo $n-k$ direcciones normales ortonormales, y tendríamos alguna combinación como $$dM = \sum_{1 \leq i_1 <i_2 < \cdots < i_k \leq n}(-1)^{-1+\sum i_j} \det(\text{something }(n-k)\times (n-k))\,dx^{i_1}\wedge\cdots \wedge dx^{i_k},$$ pero tómalo con un grano de sal.
