Demostrar que los coeficientes de una función cuadrática con raíces reales no pueden ser en progresión geométrica

Question

Supongamos que $$ax^2+bx+c$$ is a quadratic polynomial (where $ $, $b $ and $c $ are not equal to zero) that has real roots. Prove that $ $, $b $, and $c$ no puede ser términos consecutivos de una secuencia geométrica.

He intentado escribir la secuencia geométrica como $$a,\ b=ar,\ c=ar^2$$ and then substituting it back into the quadratic as $$ax^2+arx+ar^2$$ and then factoring and trying to prove that the discriminant was less than zero. But I ended up with $% $ $r^2(x-2)(x+2)$que no siempre es menor que cero. Cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

Nota: He añadido una prueba de que por extraño $n$ la única raíz es $-1$.

La generalización de Milo Brandt respuesta, que pensé antes de ver su, esto se aplica a un polinomio de cualquier siquiera grado.

Si el polinomio es de grado $2n$, el uso de su argumento, tenemos que averiguar ¿cuántas raíces reales $p(x) =x^{2n}+x^{2n-1}+...+x+1 $ puede tener.

Pero $p(x) =\frac{x^{2n+1}-1}{x-1} $ no tiene raíces reales porque el numerador y el denominador tienen el mismo signo y en el 1, su raíz común, $p(x) = 2n+1$.

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Por extraño $n$, la única raíz real es de $-1$. $n=3$ se muestra lo que sucede; A continuación, voy a dar la prueba para general impar $n$.

$x^3+x^2+x+1 =\frac{x^4-1}{x-1} =\frac{(x^2+1)(x^2-1)}{x-1} =\frac{(x^2+1)(x+1)(x-1)}{x-1} =(x^2+1)(x+1) $ para $x \ne 1$. La única raíz real es, obviamente, $x=-1$.

Para general impar $n$, desde $n+1$ es incluso, deje $n+1 = 2^km$ donde $m$ es impar. A continuación, sólo para $n=3$, anteriormente,

$\begin{array}\\ x^n+x^{n-1}+...+x+1 &=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}\\ &=\frac{x^{2^km}-1}{x-1}\\ &=\frac{(x^{2^{k-1}m}+1)(x^{2^{k-1}m}-1)}{x-1}\\ &=\frac{(x^{2^{k-1}m}+1)(x^{2^{k-2}m}+1)(x^{2^{k-2}m}-1)}{x-1}\\ &=\frac{(x^{2^{k-1}m}+1)(x^{2^{k-2}m}+1)...(x^{2m}+1)(x^m+1)(x^m-1)}{x-1}\\ &=(x^{2^{k-1}m}+1)(x^{2^{k-2}m}+1)...(x^{2m}+1)(x^m+1)\frac{x^m-1}{x-1}\\ \end{array} $

Desde $m$ es impar, como se demostró anteriormente, $\frac{x^m-1}{x-1}$ no tiene raíces reales. Todos los términos $x^{2^jm}+1$ para $j \ge 1$ son, al menos, $1$ dado que el exponente es par. Por último, desde el $m$ es impar, $x^m+1$ tiene como su única raíz real $x=-1$. Por lo tanto, todo polinomio ha $-1$ como su única raíz real.

Answer 2

Aquí es un método de pulido que se me ocurre después de que $$f(x)=ax^2+arx+ar^2$ $ es un polinomio homogéneo en $x$ y $r$. Esto nos permite "escalar" nuestra función para que todos incluido el $r$ tienen igual grado. En particular: $$f(xr)=ar^2x^2+ar^2x+ar^2$ $ y luego vemos un factor constante de $ar^2$ que nos dividen a $$\frac{f(xr)}{ar^2}=x^2+x+1$ $ que no tiene raíces reales, así que ni unos ni otros hace $f(x)$ (tomando nota de que ni unos ni otros $a$ ni $r$ puede ser cero)

Answer 3

Comienzan con $ax^2+arx+ar^2$ y tenga en cuenta primero que el factor $a$ es irrelevante, para que así tengamos $$p(x)=x^2+rx+r^2$ $

Ahora esto es un "conocido forma" $x^2+xy+y^2=(x+\frac y2)^2+\frac 34y^2$ es obviamente positivo a menos que $x=y=0$.

Para ello, simplemente completando el cuadrado.

Answer 4

El discriminante no consiste en $x$!. Y, supongo, $a^{2}r^{2}-4a^{2}r^{2}=-3a^{2}r^{2}$.