Qué podemos decir sobre el núcleo de $\phi: F_n \rightarrow S_k$

Question

Deje $F_n$ denotar el grupo libre en $n$ generadores y deje $S_k$ denotar el grupo simétrico de los enteros $\{1,\dots, k\}$, y la acción de homomorphism $\phi$ (como se indica en el título) en los generadores de $F_n$ ser conocido. Deje $K_{\phi}$ denotar el kernel.

Mi pregunta es doble.

1. He tenido la BRECHA de escupir un par de docenas de azar ejemplos de tales homomorphisms/kernels y en cada caso hasta el momento $K_{\phi}$ parece ser de infinita generación. Es éste siempre el caso? No me puedo imaginar cómo podía ser si $\phi$ es el elegido para ser trivial (mi razonamiento es que, incluso si $\phi$ mata a todos, pero uno de generador, de modo que $K_{\phi}$ es un subconjunto de un infinito subgrupo cíclico de $F_n$, $K_{\phi}$ todavía no finitely generado, y si $\phi$ mata menos-de-todo-pero-uno de los generadores de la complejidad aumenta solamente) pero también no puedo ver cómo iba a comenzar una prueba, a menos que mi razonamiento en la anterior entre paréntesis es la prueba de la estrategia. (Suponiendo, sin embargo, que hay un contraejemplo, es allí una manera de decir a partir de la presentación de $\phi$ si no $K_{\phi}$ es finitely-presentado?)

2. Puede algo ser dicho acerca de la "combinatoria" de la incrustación $\iota: K_{\phi} \hookrightarrow F_n$? (Para aclarar lo que quiero decir con esto: por supuesto, si todos los grupos que surgen como núcleos de esta forma en el infinito de los generadores, a continuación, cualquiera de los dos son isomorfos por Nielsen-Schrier, pero incluso si dos surgir de la misma $F_n$, son claramente no necesariamente el mismo subgrupo.)

Edit: me parece que han olvidado o nunca aprendieron algo importante, Como James señala en un comentario más abajo, $K_{\phi}$ es un finito-índice subgrupo de un finitely generados por el grupo, por lo que es necesariamente finitely generado por qué me acabo de enterar que se llama Schreier del lexema. Con esto en mente, creo que es conveniente revisar la primera parte de mi pregunta "¿Qué podemos decir acerca de un generador de $K_{\phi}$ dado lo que sabemos acerca de la $\phi$?" La segunda parte de la pregunta queda una pregunta por el momento.

He dado este la referencia de la solicitud de la etiqueta en caso de que haya una fuente estándar en estos temas que yo debería estar familiarizado con. Si algo no está claro, por favor enviar un comentario y trataré de solucionarlo.

Answer 1

Por el estándar de teoremas en cubrir espacios, conjugacy clases de mapas de $\varphi : F_n \to S_k$ están de forma natural en bijection con $k$veces cubre $Y$ (no necesariamente conectado) de una cuña $X = \bigvee_{i=1}^n S^1$ $n$ círculos. El tipo de ciclo de la imagen de un generador de $F_n$ dice cual es la preimagen de la correspondiente copia de $S^1$ debe ser en esta cubierta. Cubriendo espacios de gráficos siempre son los gráficos, por lo que es posible ser muy explícito acerca de lo que estas cubiertas aspecto. Usted puede dibujar un montón de fotos bonitas.

Permítanme ahora suponga que $\text{im}(\varphi)$ es transitivo subgrupo de $S_k$. A continuación, el correspondiente $k$-pliegue de la cubierta está conectado, y su grupo fundamental de la $H$ es el estabilizador de un punto en $\{ 1, 2, ..., k \}$. Por otra parte, $\text{ker}(\varphi)$ es el núcleo de la acción de la $G = F_n$ en los cosets $G/H \cong \{ 1, 2, ..., \}$, que puede ser identificado con la intersección

$$\bigcap_{g \in G} gHg^{-1}$$

de los conjugados de la $H$$G$. De nuevo, es posible ser muy explícito al respecto; no sólo es el grupo fundamental de cualquier grafo conexo un grupo libre, pero si usted elige un árbol de expansión de la gráfica a continuación, el conjunto de aristas no en el árbol de expansión formas gratis un set de generación de energía. Por otra parte, se puede predecir de antemano cuántas generadores veremos como sigue. En primer lugar, lo anterior muestra que si $X = (V, E)$ es un grafo conexo, entonces su grupo fundamental es libre en $|E| - |V| + 1$ generadores. Segundo, la característica de Euler $\chi(X) = |E| - |V|$ es multiplicativo bajo las cubiertas, y desde $X$ tiene la característica de Euler $n - 1$, se deduce que la correspondiente cubierta de $Y$ tiene la característica de Euler $k(n - 1)$, de ahí que el grupo fundamental de la $H$ $Y$ es gratis en la $k(n - 1) + 1$ generadores. Esto no te $\text{ker}(\varphi)$ directamente, usted puede tratar de conseguir $\text{ker}(\varphi)$ directamente por la construcción de la Galois de cierre de la tapa de arriba, pero en realidad yo no sé cómo hacer esto en todos los casos. Aplicando el argumento de arriba a la Galois de cierre de la muestra que $\text{ker}(\varphi)$ es gratis en la $|\text{im}(\varphi)|(n - 1) + 1$ generadores.

Edit: Aquí está un ejemplo sencillo. El primer gráfico a continuación es una $2$-pliegue de la cubierta de la segunda gráfica, con los colores de los bordes de la coincidencia.

La correspondiente homomorphism $\varphi : F_2 \to S_2$ envía el rojo generador de $r$ a la identidad y envía el azul generador de $b$ a la transposición. Cualquiera de los azul de bordes es un árbol de expansión de la cobertura gráfica, y de ello se desprende que el grupo fundamental de la cubierta en los generadores $r, b^2, brb$. Este subgrupo es ya normal, por lo tanto es $\text{ker}(\varphi)$ como se desee.

Answer 2

Como se muestra en la siguiente, la BRECHA puede trabajar generadores del kernel. Tal vez fueron puestos a un lado por el hecho de que dijo "no generadores conocidos". Eso solo significa que no ha calculado todavía.

La otra posibilidad es que el ejemplo que dio fue demasiado grande. Si se trató de asignación de $F_{20}$ $S_{20}$por ejemplo, $K$ habría demasiados generadores de la BRECHA de querer comenzar a calcular y almacenar los mismos. Esa es la razón principal por la que no intenta calcular los generadores antes de preguntar.

 gap> F:=FreeGroup(2);;
 gap> S:=SymmetricGroup(5);;
 gap> f := GroupHomomorphismByImages(F, S, [F.1,F.2], [(1,2),(1,2,3,4,5)]);;
 gap> K:=Kernel(f);
   Group(<free, no generators known>)
 gap> GK:=GeneratorsOfGroup(K);;
 gap> Length(GK);
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