La integral de $\left|\frac{\cos x}x\right|$

Question

Yo estoy buscando para determinar si la siguiente función es acotada o no: $$ F(x) = \int_1^x\left|\frac{\cos t}{t}\right|\text{d} t $$ Me parece que no puede hacer mucho con ella porque de la $|\cos(t)|$. He pensado en usar el hecho de que $\int |f| \ge |\int f|$, pero el problema es que la integral de $\frac{\cos t}t$ (sin los valores absolutos) es acotado, y por lo que no es prueba de que $F(x)$ es acotada o limitada. Traté de volver a expresar esto como un coseno integral (la función de $\text{Ci}(x)$), pero fue en vano. No estoy seguro de dónde ir con ella; el problema principal parece ser el hecho de que es muy difícil obtener una desigualdad con el $|\cos(t)|$ sin $|\cos(t)|$ en el otro lado de la desigualdad (o al menos algunas de función trigonométrica).

Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Sugerencia:

Considerar la serie de armónicos y

$$\int_{\pi/2 + k\pi}^{3\pi/2 + k\pi} \frac{| \cos t|}{t} \, dt \geqslant \frac{1}{3\pi/2 + k \pi}\int_{\pi/2 + k\pi}^{3\pi/2 + k\pi} |\cos t| \, dt = \frac{2}{3\pi/2 + k \pi}$$