¿Qué sucede con las soluciones de un problema de valor de límite de cuarto orden como desactivas el coeficiente de cuarto orden?

Question

De fondo

Lagrangiana de la mecánica en $\mathbb R^n$ generalmente se define mediante la selección de un Lagrangiano de la función $L: {\rm T}\mathbb R^n \to \mathbb R$ donde ${\rm T}\mathbb R^n = \mathbb R^{2n}$ es la tangente paquete de espacio de configuración $\mathbb R^n$. Esta función determina el de Euler-Lagrangelas ecuaciones: $$\frac{d}{dt}\left[ \frac{\partial L}{\partial v^i}\bigl( \dot\gamma(t), \gamma(t)\bigr) \right] - \frac{\partial L}{\partial q^i} \bigl( \dot\gamma(t), \gamma(t)\bigr) = 0$$ Aquí $(v^i,q^i)$ $i=1,\dots,n$ son el estándar de las coordenadas en la ${\rm T}\mathbb R^n$, $\gamma: [0,T] \to \mathbb R^n$ es una función suave, y $\dot\gamma^i(t) = \frac{d\gamma^i}{dt}$. Supongamos que la matriz de $\frac{\partial^2 L}{\partial v^i\partial v^j}(v,q)$ es invertible para cualquier $(v,q) \in {\rm T}\mathbb R^n$. Luego de Euler-Lagrange las ecuaciones son una degenerada de segundo orden de la ecuación diferencial en $\mathbb R^n$. Estoy interesado en la frontera-el problema del valor de $L$. Es decir, fix$T > 0$$q_1,q_2 \in \mathbb R^n$; la BVP pide para encontrar el conjunto $C(q_1,q_2,T)$ de todas las rutas de $\gamma: [0,T] \to \mathbb R^n$$\gamma(0) = q_1$$\gamma(t) = q_2$. De forma genérica, esto es un conjunto discreto.

Mi pregunta

Supongo que si en lugar de la de Euler-Lagrange las ecuaciones de arriba, cojo algunas pequeñas parámetro $\epsilon$ y considere la ecuación diferencial $$\frac{d}{dt}\left[ \frac{\partial L}{\partial v^i}\bigl( \dot\gamma(t), \gamma(t)\bigr) \right] - \frac{\partial L}{\partial q^i} \bigl( \dot\gamma(t), \gamma(t)\bigr) = \epsilon\gamma^{(4)}(t)^i$$ donde $\gamma^{(4)}(t)^i$ $i$ésima componente de la cuarta derivada de $\gamma$ con respecto al $t$ (el "aplastamiento", una palabra que me acabo de enterar de la Wikipedia). Para $\epsilon \neq 0$, el de las ecuaciones son una degenerada de cuarto orden de la ecuación diferencial, y así genéricamente soluciones para el límite-valor-problema por encima de la forma bidimensional de la familia. Para restringir el acceso a un conjunto discreto, debemos fijar más los valores de límite. Pick $(v_1,q_1), (v_2,q_2) \in {\rm T}\mathbb R^n$$T > 0$, y definir $C_\epsilon(v_1,q_1,v_2,q_2,T)$ a ser el conjunto de soluciones de $\gamma$ $\epsilon$dependiente de ecuaciones con EL $(\dot\gamma(0),\gamma(0)) = (v_1,_1)$$(\dot\gamma(T),\gamma(T)) = (v_2,q_2)$.

Mi pregunta es: como $\epsilon \to 0$, ¿en qué sentido hemos $C_\epsilon(v_1,q_1,v_2,q_2,T) \to C(q_1,q_2,T)$?

Answer 1

Creo que el método de solución a tu problema se llama el método de "dominante equilibrio", y en este caso, "singular y dominante de equilibrio". Si usted hace una búsqueda en la web para que, usted debería ser capaz de encontrar la información que necesita.

Este método va a dar un perturbativa de solución a tan alto grado como usted tiene la propensión a calcular. Se puede analizar esta solución para responder a diversas preguntas que usted implícita en la pregunta original, como lo es el decaimiento del comportamiento de la solución es, que la continuidad y la suavidad de las propiedades que tiene, etc...

Si quieres estudiar las soluciones de una gran clase de coeficiente de funciones, no sólo un conjunto específico, usted puede salir de constantes arbitrarias en la solución "ansatz" y, a continuación, desarrollar un parametrizada de la familia de soluciones. Tenga en cuenta que las expresiones algebraicas involucradas en la búsqueda de la simple-en busca de soluciones a crecer de forma exponencial en el número de términos que terminan la simplificación en la final. Álgebra computacional necesario para encontrar la forma simplificada de estas soluciones, no sea que usted va loco y matar a muchos de los árboles.

Usted también puede querer de la búsqueda para "teoría de la catástrofe", que los catálogos de los tipos de bifurcaciones que ocurren en los sistemas tales como la ha descrito. Este es un one-dimensional y la bifurcación del problema, que son estudiados.

Answer 2

Bender y Orszag es probablemente el libro más accesible y es lo que aprendí de así. Son las referencias en Bender y Orszag dónde voy de aquí, a menos que tengas conocimientos muy específicos de qué propiedades tiene el sistema, en el que yo pueda sugerir referencias más específicas.

¿Buscas más refs en la teoría de bifurcación? Si me puedes decir más sobre su problema específico, puedo hacer eso.

Answer 3

¿Qué es la motivación detrás de adición de epsilon? ¿Por qué no puede resolver la segunda orden BVP directamente?

Answer 4

La motivación es entender cómo las 4 dimensiones de la dinámica de vez en 2-dimensiones de la dinámica (o viceversa) como el $\gamma^{(4)}(t)^{i}$ término es "activado" o "desactivado." $\epsilon$ es la cantidad relativa de ese plazo en comparación con los demás.

Cuando el número de dimensiones de la dinámica de un cambio de sistema, que se conoce generalmente como una "bifurcación' o 'catástrofe'. Bifurcaciones generalmente tienen la connotación de ser de pocas dimensiones, $N \le 2$ donde catástrofes tienen la connotación de ser de mayores dimensiones, es decir,$N \gt 2$.

Answer 5

No entiendo tu ecuaciones en detalle, pero creo que puedo decir lo que puede/va a suceder desde el punto de vista formal asymptotics. Después de modificar su PDE en la forma descrita usted tiene que hacer frente a dos tipos de problemas.

En primer lugar, usted puede potencialmente cambiar el tipo de PDE que fueron resolver originalmente. Supongamos, por ejemplo, el original de la PDE es hiperbólica y usted está interesado en el problema de Cauchy. Entonces usted necesita para asegurarse de que sus condiciones adicionales no convertir su problema en forma elíptica, lo que llevaría a un mal planteado el problema. Por lo tanto, las perturbaciones no puede ser completamente arbitraria.

En segundo lugar, mediante la introducción de términos de orden superior en la ecuación agregó nuevas integrales para la solución general. En el caso lineal su nueva solución general es la suma de la (ligeramente modificada) solución del problema con $\epsilon=0$ y la nueva integral. Estos nuevos integrales son falsos y no tienen absolutamente ningún significado físico. ¿Cómo asegurarse de que su nueva solución es "cerrar" en algún sentido a la solución del problema original? seleccionando el adicional de las condiciones de contorno de manera tal de minimizar la contribución de estos falsos integrales.

Las variantes de este problema son conocidos desde hace tiempo (aunque no muy apreciado) en la onda larga asymptotics de finas estructuras elásticas. Tengo un documento breve que se aplica a este modo de pensamiento a un elemental problema de mecánica. Yo no soy consciente de que estos temas discutidos en cualquier lugar fuera de la mecánica, pero estoy seguro de que los físicos deben haber pensado acerca de esto en algún momento. Si alguien puede señalar los documentos que construir nuevas condiciones de contorno de la reducción de la contribución de la falsa integrales en singularmente perturbados PDEs, me encantaría aprender acerca de ellos.

Espero que esto ayude.