De fondo
Lagrangiana de la mecánica en $\mathbb R^n$ generalmente se define mediante la selección de un Lagrangiano de la función $L: {\rm T}\mathbb R^n \to \mathbb R$ donde ${\rm T}\mathbb R^n = \mathbb R^{2n}$ es la tangente paquete de espacio de configuración $\mathbb R^n$. Esta función determina el de Euler-Lagrangelas ecuaciones: $$ \frac{d}{dt}\left[ \frac{\partial L}{\partial v^i}\bigl( \dot\gamma(t), \gamma(t)\bigr) \right] - \frac{\partial L}{\partial q^i} \bigl( \dot\gamma(t), \gamma(t)\bigr) = 0$$ Aquí $(v^i,q^i)$ $i=1,\dots,n$ son el estándar de las coordenadas en la ${\rm T}\mathbb R^n$, $\gamma: [0,T] \to \mathbb R^n$ es una función suave, y $\dot\gamma^i(t) = \frac{d\gamma^i}{dt}$. Supongamos que la matriz de $\frac{\partial^2 L}{\partial v^i\partial v^j}(v,q)$ es invertible para cualquier $(v,q) \in {\rm T}\mathbb R^n$. Luego de Euler-Lagrange las ecuaciones son una degenerada de segundo orden de la ecuación diferencial en $\mathbb R^n$. Estoy interesado en la frontera-el problema del valor de $L$. Es decir, fix$T > 0$$q_1,q_2 \in \mathbb R^n$; la BVP pide para encontrar el conjunto $C(q_1,q_2,T)$ de todas las rutas de $\gamma: [0,T] \to \mathbb R^n$$\gamma(0) = q_1$$\gamma(t) = q_2$. De forma genérica, esto es un conjunto discreto.
Mi pregunta
Supongo que si en lugar de la de Euler-Lagrange las ecuaciones de arriba, cojo algunas pequeñas parámetro $\epsilon$ y considere la ecuación diferencial $$ \frac{d}{dt}\left[ \frac{\partial L}{\partial v^i}\bigl( \dot\gamma(t), \gamma(t)\bigr) \right] - \frac{\partial L}{\partial q^i} \bigl( \dot\gamma(t), \gamma(t)\bigr) = \epsilon\gamma^{(4)}(t)^i $$ donde $\gamma^{(4)}(t)^i$ $i$ésima componente de la cuarta derivada de $\gamma$ con respecto al $t$ (el "aplastamiento", una palabra que me acabo de enterar de la Wikipedia). Para $\epsilon \neq 0$, el de las ecuaciones son una degenerada de cuarto orden de la ecuación diferencial, y así genéricamente soluciones para el límite-valor-problema por encima de la forma bidimensional de la familia. Para restringir el acceso a un conjunto discreto, debemos fijar más los valores de límite. Pick $(v_1,q_1), (v_2,q_2) \in {\rm T}\mathbb R^n$$T > 0$, y definir $C_\epsilon(v_1,q_1,v_2,q_2,T)$ a ser el conjunto de soluciones de $\gamma$ $\epsilon$dependiente de ecuaciones con EL $(\dot\gamma(0),\gamma(0)) = (v_1,_1)$$(\dot\gamma(T),\gamma(T)) = (v_2,q_2)$.
Mi pregunta es: como $\epsilon \to 0$, ¿en qué sentido hemos $C_\epsilon(v_1,q_1,v_2,q_2,T) \to C(q_1,q_2,T)$?
