Interpretación matemática de los corchetes de Poisson

Question

Digamos que estamos trabajando en una teoría de campo escalar clásica y tenemos dos funcionales $ F[\phi, \pi](x)$ y $G[\phi, \pi](x)$ . En la mayoría de las referencias, a partir de dos funcionales el corchete de Poisson se define como $$\{F(x),G(y)\} = \int d^3z \left( \frac{\delta F(x)}{\delta \phi(z)}\frac{\delta G(y)}{\delta \pi(z)} - \frac{\delta F(x)}{\delta \pi(z)}\frac{\delta G(y)}{\delta \phi(z)}\right) . $$

Pero como se explica aquí la derivada funcional $\frac{\delta F}{\delta \phi} $ es una distribución y no una función, por lo que la definición anterior no tiene mucho sentido. Me preguntaba entonces, si el paréntesis de Poisson puede interpretarse como la convolución calculada en $(x-y)$ (en el sentido de las distribuciones) entre las derivadas funcionales. Esto funciona en casos de interés como $\{\phi(x), \pi(y) \}$ pero no estoy seguro de que se pueda aplicar para dos funcionales genéricos (la dependencia $(x-y)$ no es explícito). ¿Hay alguna prueba de que el corchete de Poisson es una convolución? Más en general, ¿se pueden formular las teorías de campo de manera formal en el sentido de las distribuciones?

Answer 1

I) Merece la pena mencionar que existe un enfoque básico muy adecuado para las aplicaciones de la física (en las que solemos asumir la localidad) que evita multiplicar dos distribuciones juntas. La idea es que las dos entradas $F$ y $G$ en el soporte de Poisson (PB)

$$\tag{1}\{F,G\} ~=~ \int_M \!dx \left( \frac{\delta F}{\delta \phi(x)}\frac{\delta G}{\delta \pi(x)} - \frac{\delta F}{\delta \pi(x)}\frac{\delta G}{\delta \phi(x)} \right) $$

se suponen (diferenciables) funcionales locales. $^1$ Cuando un funcional $F$ es diferenciable $^2$ el derivados funcionales

$$\tag{2}\frac{\delta F}{\delta \phi(x)},\frac{\delta F}{\delta \pi(x)},$$

de $F$ wrt. todos los campos $\phi(x)$ , $\pi(x)$ existen.

Si las dos entradas $F$ y $G$ se suponen funcionales locales diferenciables, las derivadas funcionales (2) serán funciones locales $^1$ (a diferencia de las distribuciones), y tiene sentido multiplicar dos derivadas funcionales de este tipo juntas, y finalmente integrar para obtener el PB (1). La salida $\{F,G\}$ es de nuevo una diferenciable $^3$ funcional local, de modo que el corchete de Poisson $\{\cdot,\cdot\}$ es un producto en el conjunto de funciones locales diferenciables.

II) Algunas magnitudes físicas son ya funcionales locales $F$ mientras que otras son funciones locales $f(x)$ . ¿Cómo convertimos una función local en un funcional local? Utilizamos una función de prueba $\eta(x)$ . Si $f(x)$ es una función local, defina un funcional local correspondiente como

$$\tag{3}F[\eta]~:=~ \int_M \! dx f(x)\eta(x). $$

Entonces está listo para ser insertado en el PB (1).

Referencias:

1. J.D. Brown y M. Henneaux, Sobre los corchetes de Poisson de los generadores diferenciables en la teoría de campos clásica, J. Math. Phys. 27 (1986) 489 .

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$^1$ Para la definición de un función local y un funcional local, véase, por ejemplo este Post de Phys.SE y enlaces en el mismo.

$^2$ La existencia de una derivada funcional (2) de un funcional local $F$ depende de la elección adecuada de las condiciones de contorno.

$^3$ La diferenciabilidad de la PB (1) está garantizada bajo supuestos apropiados, cf. Ref. 1, que a su vez también discute la Identidad de Jacobi para el PB (1).