Un "Zuber Itzykson"-como integral

Question

Me han dicho que existe una integración de la fórmula, que los estados (o algo parecido) $$ \int_{U(N)} dU \det[(\mathbb I+XUYU^{-1})^{-r}\propto \frac{\det(1+x_iy_j)^{N-r-1}]_{i,j}}{\Delta_N(x)\Delta_N(y)}, $$ donde $dU$ es la Distancia medida, $X=\text{diag}(x_1,\ldots,x_N)$ es positiva definida matriz diagonal con $x_i\neq x_j$ $i\neq j$ (similar para $Y$), y $$ \Delta_N(x)=\prod_{1\leq i<j\leq N}(x_i-x_j) $$ es un determinante de Vandermonde.

Esto es algo similar a un Harish-Chandra-Itzykson-Zuber integral, pero no he visto este tipo específico antes. Son todos los que están familiarizados con este tipo de integrales, y cómo resolverlos? Me sería de particular interesado en las referencias a la literatura.

Answer 1

Ya encontré una referencia que responde a esta pregunta (y nadie ha proporcionado ninguna otra solución) voy a dar una breve respuesta a mi propia pregunta.

Este tipo de integrales se ha estudiado en el contexto de las dos de la matriz de los modelos. La integral en cuestión ha sido discutida en arXiv:0804.0873 (sección 3), mientras que una clase más amplia de las integrales se ha discutido en arXiv:0512056 [math-ph] (apéndice a).

Answer 2

Esta declaración parece no ser correcta, porque si X tiende a cero de la matriz, el lado izquierdo está bien definido pero no es la derecha (Nótese que integral HCIZ no sufren de esto).

Answer 3

Esta identidad y otros de tipo similar, se han demostrado explícitamente en: J. Harnad y Yu A.. Orlov, '' fermiónicos construcción de funciones de partición para los modelos de dos matriz y extensiones perturbativos de la función de Schur'', J. Phys. A, 39, 8783 - 8809 (2006). (Apéndice A]