Por qué las matemáticas modernas prefieren $\sigma$ -álgebra a $\sigma$ -¿un anillo en la teoría de la medida?

Question

En realidad, publiqué exactamente la misma pregunta antes (hace aproximadamente un año), pero ahora perdí mi cuenta anterior así que no pude encontrar el post anterior..

Así que busqué esto en Google, pero no pude encontrar un post satisfactorio.

A continuación ilustraré dos situaciones diferentes

\========

Primera definición

Dejemos que $X$ sea un conjunto y $\sum \subset P(X)$ . Entonces, $\sum$ es un álgebra sigma en $X$ si (1)es cerrado bajo unión contable, (2)es cerrado bajo complemento y (3) $X\in \sum$

Si comenzamos la teoría de la medida a través de esta definición, al igual que la topología, para una determinada álgebra sigma, podemos saber inmediatamente en qué conjunto está definida esta álgebra sigma.

Así, esta definición permite ver una sigma-álgebra como un espacio medible.

\=======

Segunda definición

Dejemos que $X$ sea un conjunto y $\sum \subset P(X)$ . Entonces $\sum$ es un anillo sigma en $X$ Si (i) es cerrado bajo unión contable, (ii) $\forall A,B\in \sum, A-B\in \sum$ .

Si comenzamos la teoría de la medida de esta manera, cuando queramos hablar de un espacio de medida, un conjunto y un anillo sigma sobre este conjunto deben darse juntos. Esta es la única desventaja del anillo sigma en mi opinión.

Dejemos que $M=\bigcup \sum$ .

Entonces, $\sum$ es un álgebra sigma en $M$ si $M\in \sum$ .

Así, la definición de anillo sigma es estrictamente más fuerte que la de álgebra sigma.

No puedo entender por qué los matemáticos se deshicieron de esta definición generalizada y prefieren una más débil.

Recuerdo que alguien me respondió que muchos espacios interesantes son integrables por sí mismos. Lo que significa que muchos espacios interesantes $\sigma$ - lo que sea contiene todo el espacio, por lo que son $\sigma$ -algebras.

Pero, ¿acaso no hay algo interesante $\sigma$ -anillo que no es $\sigma$ -¿Álgebra?

Realmente odio tener que volver a definir algo de forma más general para tener que demostrar cada uno de los teoremas que dependen de las propiedades de la definición anterior.

Por ejemplo, comencé el análisis con Rudin-PMA y definió Topología como topología inducida por el espacio métrico en el sentido habitual. Me resultó doloroso distinguir los teoremas que se sostienen sólo en el espacio métrico y los que se sostienen en el espacio topológico, cuando aprendí la topología general más tarde.

Es difícil confirmar yo mismo por qué los matemáticos prefieren esta definición débil tomando este riesgo..

Answer 1

Teoría de la medida con $\sigma$ -Los anillos conducirán a una noción más compleja de función medible, con algunos resultados no intuitivos.

Dejemos que $\Omega$ sea un conjunto y que $\Sigma$ ser un $\sigma$ -Álgebra. Sea $f$ sea una función de $\Omega$ a $\mathbb{R}$ . Decimos que $f$ es medible si para cada conjunto de Borel $B$ en $\mathbb{R}$ , $f^{-1}(B)\in \Sigma$ .

Ahora, supongamos que $\Sigma$ es un $\sigma$ -anillo y tratamos de utilizar la misma definición. Entonces, como $\Omega=f^{-1}(\mathbb{R})$ , ya sea $\Sigma$ es un $\sigma$ -o no habrá ninguna función medible de $(\Omega,\Sigma)$ .

Por lo tanto, cuando se trabaja con $\sigma$ -anillos, necesitamos una definición ligeramente diferente (como la que encontramos en el libro de Halmos). Decimos que $f$ es medible si para cada conjunto de Borel $B$ en $\mathbb{R}$ , $[f\neq 0]\cap f^{-1}(B)\in \Sigma$ .

Esta segunda definición permite la existencia de funciones medibles incluso si $\Sigma$ es sólo un $\sigma$ -y no un $\sigma$ -de la álgebra. Sin embargo, conduce a algunos resultados no intuitivos. Por ejemplo: supongamos que $\Sigma$ es sólo un $\sigma$ -y no un $\sigma$ -Álgebra. Entonces cualquier función constante no nula NO es mensurable. En consecuencia, si $f$ es medible, entonces es fácil demostrar, por ejemplo, que $f+1$ NO es medible.

Así, la teoría de las funciones medibles e integrables se desarrolla de forma más natural utilizando $\sigma$ -en lugar de sólo $\sigma$ -anillos.

Answer 2

Esto es quizás más un comentario que una respuesta, pero es un poco largo para un comentario:

Creo que la diferencia entre las dos teorías es demasiado pequeña para preocuparse.

Permítanme que me explaye un poco en esto. Primero, dado un anillo $\mathcal{R}$ en un conjunto $X$ si no es ya un -algebra se puede crear un -algebra $\mathcal{F}=\{A\cup(X\setminus B)\colon A,B\in\mathcal{R}\}$ . Y una medida sobre $\mathcal{R}$ puede extenderse a una medida sobre $\mathcal{F}$ poniéndolo en $\infty$ en $\mathcal{F}\setminus\mathcal{R}$ .

A la inversa, dada una -álgebra $\mathcal{F}$ con una medida sobre ella, los miembros -finitos de $\mathcal{F}$ formará un anillo.

De este modo, no obtenemos una correspondencia simple de uno a uno entre las medidas de los anillos y las medidas de los campos, pero sostengo que lo anterior hace que la traslación entre las dos teorías sea bastante fácil, si no trivial. Por supuesto, me intrigaría ver un contraejemplo a esta conjetura.