Una relación aproximada entre la función totiente y la suma de divisores

Question

Estaba jugando con algunas de las funciones de teoría de números en Mathematica cuando encontré una relación interesante entre algunas de ellas. Abajo he trazado puntos con coordenadas $x=\dfrac{n\cdot\mu(n)}{\sigma(n)}$ y $y=\dfrac{n\cdot\mu(n)}{\phi(n)}$ para $n$ de 1 a 400.000, donde $\sigma$ representa la función suma de los divisores, $\phi$ representa la función totiente, y $\mu$ representa la función de Moebius. También he trazado un poco de la curva $y = \frac{9}{10x^{1.5}}$ .

Me parece que aquí se muestra algún tipo de relación aproximada. Por desgracia, no sé básicamente nada sobre este tema, aparte de las definiciones básicas de las funciones que estoy utilizando.

¿Alguien puede aportar alguna aclaración sobre lo que ocurre en mi ejemplo? En términos más generales, ¿hasta qué punto se exploran bien este tipo de relaciones $-$ ¿hay mucha teoría detrás de todo esto?

El código para hacer este diagrama en Mathematica es:

Show[ParallelMap[{(#/DivisorSigma[1, #])*
  MoebiusMu[#], (#/EulerPhi[#])*MoebiusMu[#]} &, Range[400000]] //
   ListPlot[#, PlotRange -> All,PlotStyle -> {Black, PointSize[0.005]}] &,   
   Plot[0.9/x^1.5, {x, 0.1, 1}], {x, -1, 1}]]

Answer 1

El teorema 329 de Hardy y Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, dice que hay una constante positiva $A$ tal que $$A\lt{\sigma(n)\phi(n)\over n^2}\lt1$$

En una nota a pie de página, muestran que $A=6/\pi^2$ .