Construcciones o propiedades de axiomas vs Universal

Question

Lo que (exactamente) es la diferencia entre la definición de un objeto matemático por los axiomas y por un universal de la construcción ? Por favor, toma mi 3 opiniones en cuenta, ya que también contienen más específico (implícitamente plantea preguntas y una respuesta que me dice donde mi percepción universal de construcciones conflictos con el lo que realmente son, es infinitamente más esclarecedor que acaba de cerrar una definición de ellas, lo que me deja pensando si (y cómo) mis puntos de vista/intuición no son corrientes.

(Por favor, tenga en cuenta también, que yo aún no tiene ningún antecedente en la categoría de teoría alguna, por lo que el único lugar en el que entró en contacto con universal construcciones fue durante un curso de introducción en álgebra abstracta. Así que sé cómo caracterizar el campo de las fracciones, por ejemplo, con un universal de la construcción).

• Me axiomas y universal de construcciones parece casi idénticos en el sentido de que sólo especificar cuál es la propiedad de un objeto se han de cumplir (por favor, desnuda conmigo, que puedo estar totalmente equivocado, ya que sabemos tan poco acerca de la característica universal), generalmente sin decir nada acerca de cómo construir estos objetos, y si ellos son únicos (para volver al campo de fracciones ejemplo: esto debe entenderse en el sentido de que no existe una absoluta campo de fracciones; diferentes integral dominios dar lugar a diferentes campos de las fracciones aunque por una parte integral de dominio sólo puede haber uno (hasta isomorfismo); aunque no sé si la singularidad).
• Estas definiciones (a través de los axiomas/a través de universal construcciones) sólo se diferencian, por lo que puedo ver, en la forma en que está indicado: Axiomas puede ser formulado (si somos muy preciso) en la lógica de primer orden, que es bastante flexible para hacer todo tipo de declaraciones, mientras que para las propiedades universales que uno tiene que describir el objeto de la opción de configuración en relación a otros, se ha descrito previamente los objetos, y el uso de mapas (es decir, diagramas) con ciertas propiedades, entre esos objetos, para definir el objeto de la elección.
• (Esto implicaría que uno tiene uso de los axiomas en un punto a describir algunos objetos abstractos, ya que universal construcciones se basan en definir previamente los objetos, de modo que uno no se puede definir todo a través de universal construcciones. O ¿sabes de algunos intentos para formalizar fundaciones usando algo como universal construcciones ?)

Answer 1

Voy a tratar de decirle lo que yo pienso de objetos universales, y por eso en mi opinión son bastante diferentes a través de los objetos definidos a través de los axiomas. Pero en primer lugar, ser consciente de que yo no tienen antecedentes en la lógica, así que voy a usar la palabra "axioma" demasiado ingenuo. También, lo que sigue es sólo mi (filosófica) de la interpretación.

Entonces, ¿qué es la típica forma de una característica universal? Siempre va así: un objeto es universal para una propiedad determinada cuando el siguiente (informal!) se satisface la condición:

cada vez que un "extraño" objeto de intentos de imitar a la propiedad, a continuación, se actúa de una manera que debe "factor" a través del objeto universal en un de manera única.

(Esto generalmente se traduce en una adecuada conmutativa diagramas, como lo he llamado "objeto" de arriba es en realidad una "cosa + algunas flechas").

Esto implica que los objetos definidos por una característica universal son siempre únicas de hasta un único isomorfismo. Por ejemplo, si usted comienza con un integrante de dominio, usted puede definir su campo de fracciones a través de una característica universal (y luego comprobar que existe).

Pero considere este ejemplo: comenzar con un conjunto $X$, y supongamos que se desea una topología en él. Una topología es algo definido por los axiomas (los axiomas de la "open conjuntos"). En este caso, el objeto de obtener (después de haber seleccionado una colección de subconjuntos de la satisfacción de los axiomas) no puede ser llamado universal en cualquier sentido, ya que puede tener diferentes topologías en $X$. Lo que usted eligió como abrir sets, su elección no es mejor que otro, así que... universal con respecto a qué? La diferencia es, entonces, que usted no tiene la noción de factor de a través de.

Permítanme explicar esto mejor (pero aún de manera informal). Si usted fija una topología en un conjunto $X$, y te preguntas a ti mismo: "es esta topología universal?", ¿qué significa esto? Aquí está el punto importante, la razón por la que la noción de factor de por medio no puede existir: una topología de no HACER nada, es sólo una estática definición de algo. En su lugar, un objeto universal realmente HACE algo (lo que está codificado en la propiedad): viene con al menos una flecha (por ejemplo, los morfismos $A\to \textrm{Frac }A$) y tenemos un camino concreto para comparar con otros objetos que actúan como él. Pero este no es el caso de las cosas definidas por axiomas: son "inerte", estática.

Así que yo creo que el principal problema con respecto a objetos universales es realmente de que están

\begin{equation} \textrm{unique up to a unique isomorphism, and} \end{equation}

\begin{equation} \textrm{dynamic, while axioms transmit static nature.} \end{equation}

También, hay otro (lado) problema: el objeto universal, a menudo, nos dice algo acerca de la no-objetos universales (los de intentar "imitar"). Tiene este poder gracias a su dinámico de la naturaleza. Te voy a dar este ejemplo. Supongamos que usted tiene una multa espacio de moduli (una solución universal para una determinada módulos problema). A continuación, las propiedades de este objeto thanslate en las propiedades de otros objetos que los módulos problema de la intención de clasificar. Usted realmente tiene estas propiedades de forma gratuita! pasan todas las familias de la no-universal objetos a través de la familia universal.

Resumiendo: en mi opinión, objetos universales a menudo codificar más profundo de la información, porque ellos no son estáticos. Y esto es debido a una característica universal es algo que está formulado en el lenguaje potente de categorías, donde todo lo que importa es cómo las cosas se mueven (flechas!).