¿Es cierto que un subconjunto cerrado en un subespacio cerrado de un espacio topológico es cerrado en todo el espacio?

Question

Tengo una pregunta no relacionada con los deberes de un texto y necesito una prueba/desafío clara y bonita por favor

¿Es cierto que un subconjunto que está cerrado en un subespacio cerrado de un topológico topológico es cerrado en todo el espacio?

mis ideas:

si $H$ es el subconjunto del espacio topológico $X$

si el subconjunto es cerrado en el subespacio cerrado, el complemento es abierto en el subespacio, lo que significa que el complemento es de la forma $U\cap H$ para algunos $U$ abrir en $X$

si el subespacio es cerrado el complemento es abierto lo que significa complemento de $H=U$ para alguna $U$ en $X$

Muchas gracias

Answer 1

Supongamos que $H$ es un subespacio cerrado de $X$ y $F$ es cerrado en el subespacio $H$ . Por definición de la topología relativa existe un conjunto cerrado $C$ en $X$ tal que $F=C\cap H$ . Pero entonces $F$ es la intersección de dos subconjuntos cerrados de $X$ Así que $F$ está cerrado en $X$ .

Si aún no conoces esta caracterización de los conjuntos cerrados en la topología relativa, merece la pena probarla como una prueba aparte

Proposición. Sea $Y$ sea un subespacio de un espacio $X$ . Entonces un conjunto $H\subseteq Y$ está cerrado en $Y$ sólo si $H=F\cap Y$ para algún conjunto cerrado $F$ en $X$ .

Por supuesto, para ello hay que fijarse en los complementos, pero es muy fácil. $Y\setminus H$ está abierto en $Y$ por lo que hay un $U\subseteq X$ tal que $Y\setminus H=U\cap Y$ . Sea $F=X\setminus U$ Entonces $F$ está cerrado en $X$ y $F\cap Y=(X\setminus U)\cap Y=Y\setminus U=H$ .

Answer 2

Sea $X'$ sea un subconjunto cerrado de $X$ y decir que $H$ está cerrado en $X'$ en la topología del subespacio. Entonces $X'\setminus H$ está abierto en $X'$ y, por tanto, es de la forma $G\cap X'$ para algún conjunto $G$ que está abierto en $X$ . Entonces $X\setminus G$ está cerrado en $X$ y $(X\setminus G)\cap X' = H$ es una intersección de conjuntos cerrados en $X$ y, por tanto, está cerrado en $X$ .