¿Cómo hacer anillo de homomorfismo de R → z corresponden para preparar ideales de R?

Question

En la Categoría de "Teoría" (Oxford Lógica Guías, 2010 por Steve Awodey), pg 35, Awodey hace una mano comentario:

"Anillo de homomorphisms A → ℤ en el anillo ℤ ... corresponden a lo que se llama el primer ideales, que son el anillo de la teoría de la generalización de ultrafilters."

Me pueden encontrar otras fuentes que afirman que esto es cierto, y que "claramente" el primer ideales de un anillo corresponden a su homomorphisms en ℤ. Entiendo que estos dos conceptos de forma individual y estoy tratando de construir una prueba de la conexión de ellos mediante el uso de homomorphism ley por sí sola, pero estoy pegado.

¿Cómo se pasa de "homomorphism en ℤ" a "primer ideal"?

Answer 1

No estoy seguro de qué supuestos adicionales se trabaja bajo, pero aquí hay algo que usted puede decir:

Para un anillo conmutativo $R$, el primer ideales son exactamente los granos de homomorphisms de $R$ integral en los dominios.

Este es inmediata si ahora el Primer Teorema de Isomorfismo y el hecho de que $A/I$ es un dominio iff $I$ es un primer ideal de $A$.

Ahora, los granos de homomorphisms en $\mathbb Z$ sin duda corresponden a algunos de primer ideales, pero definitivamente no a todos, y que en realidad no era 100% transparente en el pasaje que se cita. Por ejemplo, el campo de los dos elementos tiene un primer ideal que no se corresponde con ninguna homomorphism en $\mathbb Z$, y lo mismo puede decirse de $A=\mathbb C$, o por cualquier campo que importa.

Answer 2

La afirmación es absurda:
Hay un montón de ideales primeros en $A=\mathbb C[X]$ pero no morfismo anillo % todos $\mathbb C[X]\to \mathbb Z$.
Peor aún: hay solamente un anillo morfismo $\mathbb Z\to \mathbb Z$ pero infinitamente muchos ideales principales $\mathbb Z$, como probado por Euclid.
La afirmación también es falsa para todos los campos e incluso para cada álgebra sobre un campo!
En realidad, extemporáneo no conozco un solo anillo para que la afirmación es verdadera, pero no voy a perder un nanosegundo en busca de uno...