Demostrar que $f(x) = x^{1/5}$ es continua en todas partes

Question

Necesidad de demostrar que $f(x) = x^{1/5}$ es continua en todas partes, donde $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ :

a partir de la definición tenemos que demostrar que dado $ \epsilon > 0 $ $\exists \delta > 0 $ s.t. $|x-x_0|<\delta \Rightarrow \left|x^{\frac{1}{5}} - x_0^{\frac{1}{5}}\right| < \epsilon$ para cualquier punto $x_0 \in \mathbb{R}$

Tengo una prueba pero es algo injustificada:

considere $\left|x^\frac15 - x_0^\frac15\right| \geq \left|x^\frac15\right| - \left|x_0^\frac15\right| $ de la desigualdad del triángulo ya que $\left|x^\frac15\right| < |x|$ y $\left|x_0^\frac15\right| < |x_0|$ entonces $\left|x^\frac15 - x_0^\frac15\right| \geq \left|x^\frac15\right| - \left|x_0^\frac15\right| < |x| - \left|x_0\right| = \left|x-x_0\right| = \delta$ para que podamos elegir $\delta = \epsilon$ ?

En general no estoy contento con la prueba, en la última desigualdad no creo que pueda afirmar que delta = épsilon y listo, pero no tengo idea de qué más hacer. Tampoco estoy seguro de este paso $|x| - |x_0| = |x-x_0|$ y $\left|x^\frac15\right| < |x|$ y $\left|x_0^\frac15\right| < |x_0|$ ese paso también...

si alguien me puede ayudar.. gracias

Answer 1

Si acepta que ambos $e^x$ y $lnx$ son continuos, entonces, trabajando con $x$ en $(0, \infty)$ puedes hacer esto:

$x^{1/5}=e^{(1/5)lnx}$ es la composición de las dos funciones continuas $e^x$ y $\frac{1}{5}lnx$ por lo que, como composición de dos funciones continuas, es continua.

Answer 2

No es cierto en general que $|x|^{\frac{1}{5}}<|x|$ (esto es cierto si $|x|>1$ ).

Así es como yo haría una prueba. Primero tratar la continuidad en $0$ como un caso aparte ( $\delta=\varepsilon^{5}$ ). Ahora dejemos que $x\in\mathbb{R}$ y $\varepsilon>0$ sea arbitraria. Establezca $\delta=\min\{\varepsilon|x|^{\frac{4}{5}},|x|\}$ .

Tenemos que hacer un poco antes de terminar la prueba. Fíjate en que para $x,y\in\mathbb{R}$ tal que $xy>0$ tenemos $x^{5}-y^{5}=(x-y)(x^{4}+x^{3}y+x^{2}y^{2}+xy^{3}+y^{4})$ así que $$|x-y|=\frac{|x^{5}-y^{5}|}{|x^{4}+x^{3}y+x^{2}y^{2}+xy^{3}+y^{4}|}=\frac{|x^{5}-y^{5}|}{|x^{4}|+|x^{3}y|+|x^{2}y^{2}|+|xy^{3}|+|y^{4}|} \leq\frac{|x^{5}-y^{5}|}{|x|^{4}}$$ La cadena de desigualdades anterior implica $$\textbf{(1) }\text{for } x,y\in\mathbb{R}\text{ with } xy>0, |x^{\frac{1}{5}}-y^{\frac{1}{5}}|\leq\frac{|x-y|}{|x|^{\frac{4}{5}}}$$

Ahora dejemos que $|x-y|<\delta$ . Entonces, por (1) tenemos $$|x^{\frac{1}{5}}-y^{\frac{1}{5}}|\leq\frac{|x-y|}{|x|^{\frac{4}{5}}}<\frac{\delta}{|x|^{\frac{4}{5}}}\leq\varepsilon $$ Entonces hemos terminado. Necesitamos $\delta<|x|$ para que $xy>0$ . ¿Por qué necesitamos $xy>0$ ? Te dejaré esa parte a ti.