Si $f$ es un homomorfismo de grupo $(\mathbb{Z},+)$ $(\mathbb{Q}-\{0\},.)$ tal que $f(2)=\frac{1}{3}$, entonces encontrar $f(-8)$.

Question

Me encontré con la siguiente pregunta:

Si $f$ es un homomorfismo de grupo $(\mathbb{Z},+)$ $(\mathbb{Q}-\{0\},.)$ tal que $f(2)=\frac{1}{3}$, entonces ¿cuál es el valor de $f(-8)$?

La propiedad de homomorfismo de grupo, podemos escribir - $f(8) = f(2+2+2+2) = f(2)^4 = \frac{1}{81}$.

Pero se nos pide encontrar $f(-8)$. ¿Cómo cambia el signo negativo la respuesta (es decir, si cambia, no estoy seguro)?

Gracias.

Answer 1

Desde $$f(x)f(-x)=f(x-x)=f(0)=1$$ by the homomorphism property then $ f(-x)=\frac{1}{f(x)} $.

Answer 2

Esta pregunta es deliberadamente confusa.

El hecho de que es un homomorfismo de grupo significa $f(x+y)=f(x)f(y)$, puesto que el dominio es un grupo aditivo y el codomain es un grupo multiplicativo. Así en realidad,

$f(8)=f(2+2+2+2)=f(2)f(2)f(2)f(2)=\frac{1}{81}$.

Desde $1=f(0)=f(8-8)=f(8)f(-8)$, $f(-8)=\frac{1}{f(8)}=81$ %.