Evaluar un límite de las series exponenciales truncadas había motivada por el teorema primero del número para $k$ factores primeros distintos.

Question

Si $\pi_k(n)$ es la cardinalidad de los números con k factores (repeticiones incluido) menor o igual a n, la generalizada del Teorema de los números Primos es:

$$\pi_k(n)\sim \frac{n}{\ln n} \frac{(\ln \ln n)^{k-1}}{(k-1)!}.$$

Me di cuenta de que parece cierto que

$$\lim_{n \to\infty}\ \sum_{k=1}^{n}\frac{2^n}{\ln 2^n} \frac{(\ln\ln 2^n)^{k-1}}{(k-1)!} = 2^n ,$$

lo que tiene sentido para mí. En mis intentos para demostrar esto lo único que podría conseguir un par de pasos a lo largo. Cómo puede hacerse esto?

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Edit: Mirando a través de Ramanjuan los Papeles Recogidos en el 32d papel noto que él tiene las siguientes:

$$[x] = \{\pi_1(x) + \pi_2(x)+\pi_3(x)...\}.......(1)$$

y

$$x = \frac{x}{\ln x}\{1 + \ln\ln x + \frac{(\ln\ln x)^2}{2!}...\}....(2)$$

Él dice que (1) y (2) son "obvio". La segunda no era obvio para mí, pero se puede encontrar por dejar que y = $\ln\ln x$ y el uso de la serie de Taylor para e. Estoy incluyendo este integridad debido a que (1) de arriba es la idea detrás de la pregunta original.

Answer 1

Considere, por algunas constantes $\kappa$, $$ \begin{eqnarray} c_n(\kappa) &=& \frac{1}{n \kappa }\sum_{k=0}^{n-1} \frac{ \left(\ln\left( n \kappa\right)\right)^{k-1}}{(k-1)!} = \frac{1}{n \kappa } \left( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{ \left(\ln\left( n \kappa\right)\right)^{k-1}}{(k-1)!} - \sum_{k=n}^{\infty} \frac{ \left(\ln\left( n \kappa\right)\right)^{k-1}}{(k-1)!} \right) \\ \ & =& 1 - \frac{1}{n \kappa } \sum_{k=n}^{\infty} \frac{ \left(\ln\left( n \kappa\right)\right)^{k-1}}{(k-1)!} \end{eqnarray} $$ Usted está interesado en el comportamiento de $2^n c_n(\ln 2)$ grandes $n$.

La última suma se desvanece por el Stolz-Cesàro teorema. De hecho, para $b_n = n \kappa$, e $a_n = \sum \limits_{k=n}^{\infty} \frac{ \left(\ln\left( n \kappa\right)\right)^{k-1}}{(k-1)!}$, $$ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_{n}}{b_{n+1}-b_n} = \lim_{n \to \infty}\left(-\frac1{\kappa} \cdot \frac{ \left(\ln\left( n \kappa\right)\right)^{n-1}}{(n-1)!} \right)= 0 $$ donde la aproximación de Stirling puede ser utilizado para probar el límite.

Por lo tanto, $\lim \limits_{n \to \infty} c_n(\kappa) = 1$.