Obtener N mínima de aproximación de pi

Question

La siguiente expresión es una aproximación de PI, donde N determina la precisión.

$$\pi (N) = \frac{4}{N} \sum_{i=1}^{N}\frac{1}{1 +\left ( \frac{i -\frac{1}{2}}{N} \right )^{2}}$$

Si quiero buscar una aproximación con un error menor que una determinada cantidad $E$, me gustaría encontrar matemáticamente N tengo que usar, o al menos algunos límites donde que N tiene que ser.

He intentado aproximar la función de error, pero no pude entrar a nada suficientemente precisa.

Tener en cuenta que el % de error determinado $E$puedo obtener $\pi(N)$.

Answer 1

Claramente, se trata de una suma de Riemann para la integral

$$\pi = 4 \int_0^1 dx \frac{1}{1+x^2}$$

La diferencia entre la suma de Riemann superior y este valor integral trata de $|f''(\xi)|/(12 N^2)$, donde $f(x)=1/(1+x^2)$ y $\xi$ son el punto en que $f''(x)$ es un máximo $[0,1]$. Como este valor es $2$ $\xi = 0$, trata el valor de $N$ % error dado $E$

$$N=\sqrt{\frac{1}{6 E}}$$

Answer 2

No puedo ofrecer una fórmula, matemática, pero por lo menos esto debería darte una idea de la velocidad (lento) la serie converge a pie, una pequeña tabla con los resultados:

    1    0.0584
    2    0.0208
    3    0.0093
    4    0.0052
    5    0.0033
    6    0.0023
    7    0.0017
    8    0.0013
    9    0.0010
   10    0.0008
   20    0.0002
   50    0.00003
  100    0.000008
 1000    0.00000008
 2000    0.00000002
 5000    0.000000003
10000    0.0000000008