¿Cuándo la cubierta preservar la cohomología racional?

Question

Deje $X$ $Y$ ser compacto colectores. $p:X \rightarrow Y$ es una cubierta. En general no es cierto que

$$ H^* (X , \mathbb{Q} ) = H^* (Y , \mathbb{Q} )$$

Por ejemplo, si $Y$ es una esfera con $y$ asas (deje $y > 1$), $X$ es una esfera con $x$ asas. Por otra parte, si no es trivial que cubre, a continuación,$x > y$.

Pero si $X$ $Y$ son Mentira grupos y $p$ es homomorphism, a continuación,$ H^* (X , \mathbb{Q} ) = H^* (Y , \mathbb{Q} )$. Me parece un poco como un milagro.

Para probar que usted tiene que considerar la posibilidad de Chevalley-Eilenberg complejo. Cuenta la cohomology de Lie del grupo. Por otro lado está formulado en términos puramente de álgebra de la Mentira.

Pregunta: quiero una puramente topológica de la condición en $p$, $X$ y $Y$ mantener isomorfismo $$ H^* (X , \mathbb{Q} ) = H^* (Y , \mathbb{Q} )$$.

Por ejemplo, ¿qué acerca de la condición de "$Y$ ha trivial tangente paquete"?

Answer 1

Si $X \to Y$ es un finita de Galois cubierta con grupo de Galois $G$ a continuación, se sabe que la inducida por el mapa de $H^{\bullet}(Y, \mathbb{Q}) \to H^{\bullet}(X, \mathbb{Q})$ es inyectiva e induce un isomorfismo

$$H^{\bullet}(Y, \mathbb{Q}) \cong H^{\bullet}(X, \mathbb{Q})^G.$$

(Esto no tiene nada que ver con $X$ $Y$ ser compactos o colectores.) Así que aquí la respuesta es que el natural mapa es un isomorfismo iff la acción de la $G$ $H^{\bullet}(X, \mathbb{Q})$ es trivial. (Esto no tiene nada que ver con la tangente paquete de $X$ o $Y$.)

Si $p : X \to Y$ es finito, cubriendo mapa de conexión de la Mentira de los grupos (tanto "finito" y "conectado" son esenciales para lo que sigue, me dejo a usted para buscar contraejemplos si se cae), entonces es Galois con grupo de Galois $G = \text{ker}(p)$, y la cubierta mapa está dada por quotienting por $G$. La acción de la $G$ $H^{\bullet}(X, \mathbb{Q})$ es trivial porque los factores a través de la acción de $X$, lo cual es trivial debido a que $X$ está conectado. No hay necesidad de pasar a álgebras de Lie.

Así que usted puede esperar la acción de la $G$ ser trivial si los factores a través de la acción de un conectada Mentira grupo; por ejemplo, usted puede saber que $G$ hechos por isometrías de algunos de Riemann métrica en $X$ con respecto a los cuales el grupo de isometría de $X$ está conectado a un grupo Mentira. Aparte de eso, todas las apuestas están apagadas.

Edit: tenga en cuenta también que si $X, Y$ son compactos colectores de entonces, se han Euler características que satisfacen $\chi(X) = n \chi(Y)$ donde $n$ es el grado de la cubierta, por lo que una condición necesaria en este caso (si $n \neq 1$) es que el $\chi(X) = \chi(Y) = 0$, que es, por supuesto, siempre satisfechos compacto de la Mentira de los grupos, de modo que no hay ningún problema. La forma en que esta se refleja en el argumento anterior es que si $G$ es un trivial grupo que actúa libremente en $X$ pero trivialmente en el cohomology de $X$, luego por la Lefschetz punto fijo teorema $\chi(X) = 0$.