¿Por qué $(2/p)=\prod_{k=1}^{(p-1)/2}2\cos\left(\frac{2\pi k}{p}\right)$?

Question

Viendo uno de mis sitios favoritos de videojuegos, hubo un post preguntando por la derivación de la fórmula $$ \left(\frac{2}{p}\right) = \prod_ {k = 1} ^ {(p-1)/2} 2\cos (2\pi k/p). $$

Sé que $\left(\frac{2}{p}\right)=(-1)^{(p^2-1)/8}$, pero nunca habíamos visto una fórmula en términos de coseno, parece más computacional involucrados. ¿De todas formas, por curiosidad hay una derivación o referencia a una derivación? Muchas gracias.

Answer 1

La respuesta que yo estoy escribiendo ya fue dado y por alguna razón eliminado por ryu jin. Parecía una buena respuesta para mí, así que aquí está de nuevo como CW.

Hay un teorema más general: Para $a$ relativamente primer a $p$, tenemos $$\left( \frac{a}{p} \right) = \prod_{k=1}^{\frac{p-1}{2}} \frac{\sin (2 \pi ak/p)}{\sin (2 \pi k/p)}.$$

Conectar $a=2$ y la identidad de $\sin(2 \theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$ da su fórmula.

Prueba: Por $a$ como en el anterior, y $k$ a un entero en el intervalo de $[1, (p-1)/2]$, podemos reducir el $ak$ modulo $p$ para obtener un entero en $[-(p-1)/2, (p-1)/2]$. Escribir entero como $\epsilon(k) \phi(k)$ donde $\epsilon(k)$ es $1$ o $-1$$\phi(k) \in [1,(p-1)/2]$. Desde $m \mapsto \sin( 2 \pi m/p )$ es periódica modulo $p$ y una función impar, tenemos $$\prod_{k=1}^{\frac{p-1}{2}} \sin (2 \pi ak/p) = \prod_{k=1}^{\frac{p-1}{2}} {\Big(}\epsilon(k) \sin (2 \pi \phi(k)/p) {\Big)} = \prod_{k=1}^{\frac{p-1}{2}} \epsilon(k) \prod_{k=1}^{\frac{p-1}{2}} \sin (2 \pi \phi(k)/p)$$

Por Gauss, Lema, tenemos $\prod_{k=1}^{(p-1)/2} \epsilon(k) = \left( \frac{a}{p} \right)$. También por Gauss, lema, el mapa de $\phi$ es un bijection de $\{ 1,2, \ldots, (p-1)/2 \}$ a sí mismo, de manera que el segundo factor es $\prod_{k=1}^{(p-1)/2} \sin (2 \pi k/p)$.

Así $$\prod_{k=1}^{\frac{p-1}{2}} \sin (2 \pi ak/p) = \left( \frac{a}{p} \right) \prod_{k=1}^{(p-1)/2} \sin (2 \pi k/p)$$ como se desee.

Answer 2

Por extraño prime $p,$

$$\cos px+i\sin px=(\cos x+i\sin x)^p=\sum_{0\le r\le p\cos^{p-r}x(i\sin x)^r}$$

Igualando las partes Reales, $$\cos px=\cos^px-\binom p2 \cos^{n-2}x\sin^2x+\binom p4\cos^4x\sin^4x+\cdots$$ $$=\cos^px(1+\binom p2+\binom p4+\cdots)+\cdots+(-1)^{\frac{p-1}2}\cos x$$ $$=2^{p-1}\cos^px+\cdots+(-1)^{\frac{p-1}2}\cos x$$

Si ponemos $x=\frac{2k\pi}p,\cos px=1$ donde $k$ es cualquier entero.

Así, las raíces de $$2^{p-1}\cos^px+\cdots+(-1)^{\frac{p-1}2}\cos x-1=0$$ are $\cos \frac{2k\pi}p$ where $0\le k\le p-1$

Así, $$\prod_{0\le k\le p-1}\cos \frac{2k\pi}p=\frac1{2^{p-1}}\implies \prod_{1\le k\le p-1}\cos \frac{2k\pi}p=\frac1{2^{p-1}}$$ as $\cos\frac{2k\pi}p=1$ for $k=0$

Ahora, $\cos\frac{2(p-k)\pi}p=\cos(2\pi-\frac{2k\pi}p)=\cos\frac{2k\pi}p\implies \cos\frac{2k\pi}p\cos\frac{2(p-k)\pi}p=\cos^2\frac{2k\pi}p$

$$\implies \prod_{1\le k\le p-1}\cos \frac{2k\pi}p=\prod_{1\le k\le \frac{p-1}2}\cos\frac{2k\pi}p\prod_{\frac{p-1}2< k\le p-1}\cos\frac{2k\pi}p=\prod_{1\le k\le \frac{p-1}2}\cos^2\frac{2k\pi}p$$

Por eso, $$\prod_{1\le k\le \frac{p-1}2}\cos^2\frac{2k\pi}p=\frac1{2^{p-1}}\implies \prod_{1\le k\le \frac{p-1}2}\left(2\cos\frac{2k\pi}p\right)^2=1$$

Ahora, $\cos\frac{2k\pi}p<0$ si $\frac\pi2<\frac{2k\pi}p<3\frac\pi2\implies \frac p4< k<\frac{3p}4$ que en nuestro caso se reduce a $\frac p4< k\le \frac{p-1}2$

Por lo $k$ $\mu=\frac{p-1}2-\lfloor \frac p4\rfloor$ valores por los que $\cos\frac{2k\pi}p<0$, $$(-1)^\mu\prod_{1\le k\le \frac{p-1}2}2\cos\frac{2k\pi}p=1\implies \prod_{1\le k\le \frac{p-1}2}2\cos\frac{2k\pi}p=(-1)^\mu$$

Observar que $\mu,\frac{p^2-1}8$ tienen la misma paridad.

Por ejemplo, para $p=8n-1, \frac{p^2-1}8=\frac{(8n-1)^2-1}8=8n^2-2n$ $\mu=4n-1-(2n-1)=2n$