Yo estaba jugando con raíces cuadradas hoy cuando "Descubrí" esta.
$\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + ...}}} = x$
$\sqrt{1 + x} = x$
$1 + x = x^2$
Que, mediante la fórmula cuadrática, me lleva a la proporción áurea.
¿Hay ninguna importancia a esto o es sólo una coincidencia aleatoria?
Cualquier expresión de la forma $\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\ldots}}}$ tendrá un valueof el formulario $$ \frac{-1\pm\sqrt{1+4n}}{2} $$ así que no es ninguna coincidencia que usted consigue una respuesta simple como lo tienes.
En cuanto a si es una coincidencia que este es el cociente de oro, muy mucho la definición de la expresión para el cociente de oro proviene de un rectángulo y un cuadrado se cortan, dejando una similar rectángulo -- y que el diagrama de inmediato le da $$ \frac{1+x}{x} = \frac{x}{1} \implies 1+x = x^2$$ Así que aunque un poco de opinión pelos de punta, yo diría que esto no es ninguna casualidad.
Si jugar un poco más, también se dará cuenta de que: $$ \frac{1+\sqrt{5}}{2} = 1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+ \ldots} } } } $$
Que se simplifica a $x = 1+ \frac 1x \implies x^2=x+1$.
No es coincidencia. Quiero decir, que viene directamente de la ecuación en sí.
Solo para dar otro ejemplo: La ecuación de $x^2 = 4+x$ está satisfecho por la fracción $\frac{1+\sqrt{17}}{2}$. Ahora, podemos usar la misma lógica para extender este hombre: $$ x = \sqrt{4 + x} = \sqrt{4 + \sqrt{4 + \sqrt{4 + \sqrt{4 + \ldots}}}} $$
Mientras que, al mismo tiempo, esto también se expande como una fracción continua, a saber: $$ x = 1 + \frac{4}{x} = 1 + \frac{4}{1 + \frac{4}{1 + \frac{4}{1 + \frac{4}{1 + \ldots} } } } $$
Usted ve, no es una coincidencia, sin embargo, es maravilloso.
La pregunta que surge es: ¿se Puede hacer esto con otros polinomios cuadráticos?
Tomemos, por ejemplo, $ax^2+bx+c=0$. A continuación,$ax^2 = -bx-c$$x^2 = -\frac{b}{a}x -\frac{c}{a}$.
Esto se expanda ahora en una manera interesante: $$ x = \sqrt{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}x} = \sqrt{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a} \ldots}}} $$
Y como una fracción continua: $$ x = -\frac{b}{a} - \frac{c}{ax} =-\frac{b}{a} - \frac{c}{a(-\frac{b}{a} - \frac{c}{a(-\frac{b}{a} - \frac{c}{a \ldots} )}) } $$
Que es su licencia para jugar. Por favor, hágalo. También, ver lo que se obtiene si $ax^3+bx^2+cx+d=0$, y si se puede encontrar algo interesante aquí hacer un comentario.
Que $a_n$ incluye 1 %#% de #%. Entonces $n$. Se puede demostrar por inducción que $a_{n+1}=\sqrt{1+a_n}$ está aumentando y está delimitada desde arriba por $a_n$. Pasos de inducción: $ a_ {n + 1} = \sqrt {1 + a_n} \geq\sqrt {1 + a_ {n-1}} = a_n; a_ {n + 1} = \sqrt {1 + a_n} < \sqrt{1+3}=2 < 3. $$ Por lo que existe $3$satisfacción $L=\lim a_n$, que implica $L=\sqrt{1+L}$ es igual al valor que encontrará.
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