Este es un intento de terminar la Caracterización de los números primos que no se dividen cualquier Pell-Lucas número(s)de
Para los números primos $p \equiv 3 \pmod 4,$ siempre hay alguna solución a $x^2 - 2 y^2 = \pm 1$ $x \equiv 0 \pmod p.$ Para los números primos $p \equiv 5 \pmod 8,$ nunca. Para los números primos $p = 4 x^2 + 4 x y + 9 y^2 $ o $p = 4 x^2 + 4 x y + 33 y^2, $ siempre; estas son las $1 \pmod 8.$, dicho de otro modo, estos predecible $1 \pmod 8$ de los números primos son $p = u^2 + 8 v^2$ $v$ requiere impar, entonces $p = u^2 + 32 v^2$ $v$ requiere impar.
Lo que me he quedado con una separación de los números primos $p = x^2 + 128 y^2$ en dos subconjuntos, uno alrededor de un tercio de los números primos y los otros dos tercios. El conjunto más pequeño, hasta 10.000, es
$$ 353, 1153, 1201, 1217, 1601, 2113, 2273, 3137, 4481, 5297, 5569, 6689, 7393, 7793, 8081, 8609, 9521, 9649, $$ La secuencia de Pell-Lucas números es $P_1 = 1, \; P_2 = 3, \; P_3 = 7, \; P_4 = 17, \; P_{n+2} = 2 P_{n+1} + P_n. $ $P_{11} = 8119 = 23 \cdot 353$ $P_{12} = 19601 = 17 \cdot 1153.$ Los índices para que estos primos aparecen por primera vez como factores son
353 position 11
1153 position 12
1201 position 75
1217 position 76
1601 position 100
2113 position 44
2273 position 142
3137 position 196
4481 position 140
5297 position 331
5569 position 116
6689 position 418
7393 position 231
7793 position 487
8081 position 505
8609 position 269
9521 position 595
9649 position 603
La mayor lista de números primos es $$ 137, 521, 569, 593, 857, 953, 1321, 1777, 1993, 2129, 2153, 2377, 2521, 2729, 2777, 2833, 3001, 3209, 3361, 3761, 3929, 4073, 4177, 4289, 4649, 4657, 4721, 4729, 4889, 4969, 5233, 5273, 5449, 5641, 5801, 6353, 6449, 6481, 7001, 7417, 7673, 8089, 8273, 8297, 8329, 8377, 9161, 9281, 9433, 9929, $$ Estos primos nunca dividir cualquier $u$ $u^2 - 2 v^2 = \pm 1.$
Hasta 1.000.000, hay 4891 primos $p = x^2 + 128 y^2,$ el más pequeño de la lista tiene 1666 miembros, la mayor 3225; a continuación, $3225/1666 \approx 1.936.$ Hasta 10,000,000, hay 41,453 primos $p = x^2 + 128 y^2,$ el más pequeño de la lista tiene 13,837 miembros, la mayor 27,616; y $27616/13837 \approx 1.9958.$ Actualmente en ejecución de 100.000.000, probablemente, otro de seis horas. Había un Total de nueve horas; hasta 100.000.000 de hay 359,930 primos $p = x^2 + 128 y^2,$ el más pequeño de la lista tiene 119,930 de los números primos, la más lista de 240.000, y $240000/119930 \approx 2.001167.$
De todos modos, el tipo de cosa que yo ahora cómo encontrar es discriminantes, por ejemplo, el género principal de tener el número de clases divisible por 3, en cuyo caso el más pequeño de la lista estaría representado por la forma principal, como en Cox del libro. No hubo suerte aquí.
En comparación, la otra cara de la moneda en Cox libro es un polinomio $f(x)$ para el que da los números primos tienen una pauta prescrita de las raíces cuando se considera $f(x) \pmod p.$ La relación favorable de los números primos, tan cerca de 2:1, luego viene bajo el título de Cebotarev Densidad.
Por ello, es en general la pregunta, ¿alguien puede caracterizar a estos números primos?
