Demostración de un teorema sobre funciones medibles

Question

Supongamos que $(\Omega, \mathscr{L})$ y $(S, \mathscr{B})$ son espacios de medida y que una colección de conjuntos $\mathscr{A}$ genera $\mathscr{B}$ es decir, $\sigma(\mathscr{A}) = \mathscr{B}$ . Sea $X: \Omega \rightarrow S$ . Si $X^{-1}(A) \in \mathscr{L} \quad \forall \space A \in \mathscr{A}$ entonces $X$ es medible $\mathscr{B}$ (o $X$ es una variable aleatoria).

Answer 1

La colección de subconjuntos de $S$ que tienen una preimagen bajo $X$ en $\sigma$ -Álgebra $\mathcal L$ se puede demostrar que es un $\sigma$ -Álgebra.

Esto no es realmente difícil de demostrar, ya que las preimágenes son muy cooperativas en esto.

Así que si esta colección contiene $\mathcal A$ como subcolección, entonces también contendrá $\mathcal B=\mathcal\sigma(\mathcal A)$ como subcolección.

Eso significa exactamente que $X$ es medible.

Answer 2

Dejemos que $\mathcal M = \{B\in \mathscr B : X^{-1}(B) \in \mathscr L\}$ . Quiere demostrar que $\mathcal M$ es una clase monótona y utiliza el teorema de la clase monótona que establece que si $M(\mathscr A)$ es la clase monótona más pequeña que contiene el álgebra $\mathscr A$ entonces $M(\mathscr A) = \sigma(\mathscr A) = \mathscr B$ . Ahora bien, como por hipótesis $\mathcal M$ contiene $\mathscr A$ y ella misma es una clase monótona, entonces $\mathcal M$ contiene $M(\mathscr A) = \mathscr B$ . Así que $\mathcal M = \mathscr B$ que es exactamente decir que $X$ es medible.