Sea $\mathbb K$ sea un campo, $n\geq 1$ y $G=GL_n({\mathbb K})$ sea el grupo de los invertibles $n \times n$ matrices con coeficientes en $\mathbb K$ . Para $J\in G$ podemos definir (por analogía con los grupos matriciales ortogonales&simplécticos)
$$ H=\lbrace M \in G | {}^tMJM=J\rbrace $$
Se trata de un subgrupo de $G$ y el determinante define un homomorfismo $H \to \lbrace -1,1\rbrace$ (porque $({\sf det} M)^2=1$ para cualquier $M\in H$ tomando determinantes en la ecuación anterior). Así que la imagen de este homomorfismo es $\lbrace 1 \rbrace$ (trivial) o $\lbrace -1,1\rbrace$ (completo).
En algunos casos (por ejemplo $\mathbb K=\mathbb R$ y $J=I_n$ : entonces $H$ es el grupo de matrices ortogonales), la imagen es completa (por ejemplo, ${\sf diag}(1,-1)$ tiene determinante $-1$ ).
En otros (como cuando $J$ es como en este pregunta reciente Math.stackexchange ), la imagen es trivial.
La pregunta (obvia) es: ¿para qué $J$ ¿la imagen es trivial o completa?