¿Cómo puedo probar la desigualdad de este monstruo?

Question

Fijos los valores de $\alpha \in (0,1)$$ n \in \Bbb N$.

Para $k \in \{1,...,n-1\}$, considere la función $$f(k)=\left(1-\alpha\sqrt{\frac{n-k}{k(n-1)}}\right)^k\left(1+\alpha\sqrt{\frac{k}{(n-k)(n-1)}}\right)^{n-k}$$.

¿Cómo puedo mostrar que, para todos los $k \in \{1,...,n-1\}$, $$f(k) \ge \left(1-\alpha\right)\left(1+\frac{\alpha}{n-1}\right)^{n-1}$$ (where equality occurs exactly at $k=1$)?

EDIT 1: traté de mostrar que $f$ es monotoniacally aumento en $k$: $$\frac{d}{dk} \log (f(k))= \log\left(1-\alpha\sqrt{\frac{n-k}{k(n-1)}}\right)-\log\left(1+\alpha\sqrt{\frac{k}{(n-k)(n-1)}}\right)+\frac{\alpha n}{2(\sqrt{k(n-k)(n-1)}-\alpha (n-k))}+\frac{\alpha n}{2(\sqrt{k(n-k)(n-1)}+\alpha k)}$$ which should be $\ge 0$, pero no veo la manera de hacer las estimaciones.

EDIT 2: Para el fondo de esta desigualdad: Esto es lo que queda demostrado al aplicar multiplicadores de Lagrange a esta desigualdad. Si alguien tiene una idea de cómo proceder en que la desigualdad sin el uso de multiplicadores de Lagrange, me sería de igual contenido.

Answer 1

Edit: he encontrado un nuevo método para resolverlo.

$F=\log\left(1-\alpha\sqrt{\frac{n-k}{k(n-1)}}\right)-\log\left(1+\alpha\sqrt{\frac{k}{(n-k)(n-1)}}\right)=\log\left(\dfrac{\sqrt{k(n-k)(n-1)}-\alpha (n-k)}{\sqrt{k(n-k)(n-1)}+\alpha k} \right)$

que $x=\dfrac{2(\sqrt{k(n-k)(n-1)}-\alpha (n-k))}{\alpha n}, x+2=\dfrac{2(\sqrt{k(n-k)(n-1)}+\alpha k)}{\alpha n}$

$F=\log\left(\dfrac{x}{x+2}\right), h(x)=\log\left(\dfrac{x}{x+2}\right)+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+2}$

Si nosotros probamos $h(x)>0$, entonces el problema resuelto. $h'(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+2}-\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{(x+2)^2}=-\dfrac{4}{x^2(x+2)^2} <0$

$h(x) $ es mono disminuyendo, $h(x)_{min}=h(+\infty)=0 \to h(x)>0$

así $\dfrac{d}{dk} \log (f(k))>0$