¿Por qué aparecen los enteros en lente espacios coprimos?

Question

Tengo un pasado del papel a la pregunta de un primer curso en topología algebraica, en la que pide uno para calcular los tres primeros de homología y homotopy grupos para el espacio de $L_n$, que se define de la siguiente manera:

Deje $G=\{z\in\mathbb C|z^n=1\}\cong\mathbb Z_n$ actuar en $S^3=\{(z_1,z_2)| |z_1|^2+|z_2|^2=1\}$ $z(z_1,z_2)=(zz_1,zz_2)$ y definen $L_n$ a ser el cociente del espacio. (La pregunta afirma que la acción de $G$ es propiamente discontinua.)

Este espacio $L_n$ parece sospechosamente a una lente de espacio $L(p,q)$$p=q=n$, con la excepción de que $p,q$ no coprime, como normalmente se requiere en la definición.

Creo que puedo manejar para calcular la homología y homotopy grupos para el lente de espacio, pero estoy un poco perdido en cuanto a lo $L_n$ es.

Mi pregunta es, ¿por qué se $p,q$ en la definición de un objetivo de un espacio de $L(p,q)$ necesario para ser coprime?

Answer 1

Recordemos que $L(p,q)$ es el cociente de $S^3$ por la acción de la $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ (considerado como el $p$th raíces de $1$)$z(z_1,z_2) = (zz_1, z^q z_2)$. Por lo tanto, el espacio de $L_n$ es en realidad el espacio de $L(n,1)$ $(p,q)$ (notación y tenga en cuenta que $\gcd(n,1) = 1$, como se requiere para el $(p,q)$ notación.)

Como Qiaochu (y Wikipedia), que requieren $\gcd(p,q)=1$ es equivalente a pedir que la acción sea libre. Las acciones libres son agradables por dos razones. En primer lugar, como usted ha señalado, libertad garantiza el cociente es un colector. Segundo, también garantiza que el cociente mapa de $S^3\rightarrow L(p,q)$ es una cubierta, lo que reduce mucho (pero no todos) de la topología algebraica consideraciones de $L(p,q)$ a los de $S^3$.