"En la vida real" la interpretación de la última de identidad es el número de diferentes presidido incluso del tamaño de los comités de $n$ de la gente es igual al número de presidido tamaño irregular de los comités de $n$ de la gente.
Tenga en cuenta que esto es no una identidad si $n=1$, mientras que el lado izquierdo es $1$ y el lado derecho es $0$. Sin embargo, es una seña de identidad de $n>1$.
Una combinatoria de la prueba (es decir, una prueba usando álgebra) es posible, aunque no es tan resbaladizo como el doble conteo de las pruebas de las otras identidades que usted menciona. Usted puede comprobar esto mediante la descripción de un uno-a-uno la correspondencia, o de vinculación, entre los comités de contado en un lado de la identidad y de las comisiones de contado en el otro lado.
En otras palabras, si podemos coincidir todos, incluso de tamaño presidido comité, con diferentes tamaños irregulares presidido comité, de manera que todos los comités están emparejados, el número de incluso de tamaño presidió los comités debe ser igual al número de tamaño irregular presidió los comités.
Aquí hay una manera de hacerlo. Ya hemos decidido que $n>1$, se puede elegir entre dos diferentes personas de la $n$ personas y llamarlas $A$$Z$.
Tomar cualquier tamaño irregular presidido el comité de $c$. Vamos a ver tres discontinuas y exhaustiva de los casos.
Caso 1: Si $A$ no está en el comité, agregar $A$ como miembro para obtener un tamaño de comité. Este es el partido para $c$.
Caso 2: Si $A$ está en el comité, pero no es el presidente, retire $A$ desde el comité (y mantener el actual presidente) para obtener el tamaño de un partido para $c$.
Tenga en cuenta que hasta ahora, los partidos en los dos casos son diferentes, porque en el Caso 1, en el partido por el $c$ incluye a $A$ y en el Caso 2 no.
El único caso de la izquierda para controlar es si $A$ es el presidente de la $c$. Para encontrar el partido por $c$ en este caso, agregar o quitar $Z$ desde el comité, dependiendo de si $Z$ es un miembro. La coincidencia de comité de tamaño uniforme. El partido ha $A$ como presidente, lo que no ocurrió en el Caso 1 o 2, por lo que no es el mismo que el de cualquier partido anterior.
Queda por demostrar que cada tamaño irregular comité fue igualada (o para describir el inverso del proceso de coincidencia). Se los dejo a ustedes.
[Añadido: en realidad, Hay una manera más simple de describir la correspondencia, aún utilizando dos personas con nombre $A$$Z$, que coincide con cualquier presidido comité con uno de diferente paridad y que está bastante claramente un bijection, porque si se aplica dos veces, se obtiene que el comité con el que comenzó. Pero no voy a estropear la diversión de venir para arriba con una descripción de la.]
