Esta pregunta se planteó como un lado de cálculo de códigos de corrección de errores. Vamos $k$, $r$ ser enteros positivos tales que a $2k-1 \leqslant r$ y deje $p$ un número primo tal que $r < p$. Me gustaría encontrar el rango de la siguiente $k \times k$ matriz con coeficientes en el campo de $F_p$ $$ \begin{pmatrix} \binom {r}{k} & \binom {r}{k+1} & \dotsm & \binom {r}{2k-1}\\ \vdots & \\ \binom {r}{2} & \binom {r}{3} & \dotsm & \binom {r}{k+1} \\ \binom {r}{1} & \binom {r}{2} & \dotsm & \binom {r}{k} \end{pmatrix} $$ donde todos los coeficientes binomiales se toman modulo $p$. Suponemos que el rango debe ser $k$ pero no tengo ninguna prueba formal. Soy consciente de Lucas del teorema, pero no sirvió de nada hasta ahora.
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zhoraster
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No es cierto, por desgracia.
En efecto, mediante la adición de la $2$nd fila a la $1$st, $3$rd a $2$nd, ... , $k$th a $(k-1)$th etc, se termina con la matriz $$ \begin{pmatrix} \binom {r+1}{k} & \binom {r+1}{k+1} & \dotsm & \binom {r+1}{2k-1}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \binom {r+1}{2} & \binom {r+1}{3} & \dotsm & \binom {r+1}{k+1} \\ \binom {r}{1} & \binom {r}{2} & \dotsm & \binom {r}{k} \end{pmatrix} $$ que tiene el mismo rango.
En particular, para $r=p-1$ obtenemos $\pmod p$ $$ \begin{pmatrix} 0 & 0 & \dotsm & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dotsm & 0 \\ * & * & \dotsm & * \end{pmatrix}. $$ Dudo que esto tiene rango $k$.
Por otra parte, es fácil ver con este argumento de que el rango es en la mayoría de las $p-r$.
Actualización: Para $k\ge p-r$, el rango es exactamente $p-r$. Sketch: las transformaciones de primera con $k-1$ filas, a continuación, con la primera $k-2$ filas, etc. Luego hacer lo mismo para las columnas. Usted va a terminar con $$ \begin{pmatrix} \binom {r+k-1}{k} & \binom {r+k}{k+1} & \dotsm & \binom {r+2k-2}{2k-1}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \binom {r+2}{3} & \binom {r+3}{4} & \dotsm & \binom {r+k+1}{k+2} \\ \binom {r+1}{2} & \binom {r+2}{3} & \dotsm & \binom {r+k}{k+1} \\ \binom {r}{1} & \binom {r+1}{2} & \dotsm & \binom {r+k-1}{k} \end{pmatrix} $$ Ahora $\pmod p$ la no-cero de los elementos de esta forma de la matriz inferior izquierda del triángulo de tamaño $p-r$ (espero que esto está claro, como yo no sé cómo Látex tal cosa). Por lo tanto, el rango es $p-r$.
También es posible hacer esto para $k>p-r$, que sólo da el límite inferior $2p-2r-k$ para el rango; no un montón de ayuda, probablemente.
Himanshi
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Escriba $A(r,k)$ de la matriz que describes. Entonces $$ \det A(r,k) = \prod_{i,j=1}^k \frac{r-k-1+i+j}{i+j-1}. $$ Esto sigue de la ecuación (2.17) en avanzado cálculo determinante (con $a=n=k$, $b=r-k$ % de Krattenthaler). $p\geq r+k$ Cada factor en el producto tiene numerador coprime $p$, por lo que la reducción de $A(r,k)$ tiene rango completo.
