Estoy interesado si hay alguna esperanza para obtener el inverso del $$ f(t) = (1-e^{-t})t $ $ $t$ positiva. Si hay una fórmula que sospecho que la función W de Lambert participarán en él. Aproximaciones inteligentes también son bienvenidos (no buscando los locales aunque;).
Respuestas
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Para la gran $t$ $f(t)\sim t$, mientras que para el pequeño t $f(t)\sim t^2$. Entonces para la gran $y$ $f^{-1}(y)\sim y$ y para el pequeño $y$ $f^{-1}(y)\sim \sqrt y$. Usando esto como una primera aproximación en el método de Newton da la siguiente aproximación: $$ f ^ {-1} (y) \sim h (y) =\begin{cases} \sqrt{y}-\frac{-y-e^{-\sqrt{y}} \sqrt{y}+\sqrt{y}}{e^{-\sqrt{y}} \sqrt{y}-e^{-\sqrt{y}}+1}& 0<y<1,\\ y+\frac{e^{-y} y}{e^{-y} y-e^{-y}+1}& y\ge1. \end{casos} $$ este es el gráfico de $f^{-1}(y)-h(y)$:
Anthony Cramp
Puntos
126
Maple nos dan una serie para él: si $(1-e^{-t})t = y$ y $t>0$ e $ t = {y} ^ {1/2} + \frac {1} {4} \,y+ {\frac {7} {96}} \, {y} ^ {3/2} + 1/48\, {y} ^ {2} + {{491} \frac {92160}} \, {y} ^ {5/2} + {\frac {1} {960}} \, {y} ^ {3} + {\frac {983} {20643840}} \,{y}^{7/2}-{\frac {11} {120960}} \, {y} ^ {4}-{\frac {2455961} {39636172800}} \,{y}^{9/2}-{\frac {79} {2903040}} \, {y} ^ {5}-{\frac {1131731179} {125567395430400}} \ , {y} ^ {11/2} + \dots $$
