Supongamos que hay un vector de variables aleatorias distribuidas conjuntamente normalmente $X \sim \mathcal{N}(\mu_X, \Sigma_X)$. ¿Cuál es la distribución del máximo entre ellos? En otras palabras, estoy interesado en este % de probabilidad $P(max(X_i) < x), \forall i$.
Gracias.
Saludos, Ivan
Para general $(\mu_X,\Sigma_X)$ que El problema es bastante difícil, incluso en 2D. Claramente $P(max(X_i)<x) = P(X_1<x \wedge X_2<x \cdots \wedge X_d <x)$, por lo que para obtener la función de distribución de la mayor de ellas debe integrar el conjunto de la densidad sobre la región... pero eso no es fácil para un general de gauss, incluso en dos dimensiones. Yo apostaría que no hay expresión simple para el caso general.
Algunas referencias:
http://www.springerlink.com/content/ca94xg2tdy7evdpb/
Multivariante Skew-Normal de las Distribuciones y su Extremal Propiedades
Rolf Waeber 8 de febrero de 2008 Resumen En esta tesis se establece que la distribución tiene un sesgo normal dist.
Un papel por Nadarajah y Samuel Kotz da la expresión para el max de cualquier bivariante normal F(x,y). IEEE TRANSACTIONS ON INTEGRACIÓN A ESCALA MUY GRANDE (VLSI) SISTEMAS, VOL. 16, NO. 2, FEBRERO de 2008 Distribución exacta de los Max/Min de Dos Gaussiano Variables Aleatorias Saralees Nadarajah y Samuel Kotz Si F(x,y) es una normal estándar (es decir,=0 y desviaciones=1, r>0), el dist de la máxima de una asimetría normal.
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