Menos privilegiada de la forma $38^n+31$

Question

Puedo buscar el menor n tal que

$$38^n+31$$

es primo.

He comprobado el $n$ hasta $3000$ y no encontré ninguno, así que al menos el primer de que forma debe tener más de $4000$ dígitos. Yo estoy contento con la probable prime, que no necesita ser demostrado prime.

Answer 1

Esto no es una prueba, pero no caber cómodamente en un comentario.

Voy a tomar en cuenta que el $n=4k$ es necesario, de lo contrario $38^n+31$ será divisible por $3$ o $5$ como se señaló en los comentarios.

Ahora, si tratamos a los primos como "pseudo aleatorios" en el sentido de que gran número de $n$ tiene una probabilidad de $1/\ln(n)$ de los primos (que es el primer número de la densidad de un gran $n$), se espera que el número de primos de $n=4,8,\ldots,4N$ aumentará con $N$ $$ \sum_{k=1}^N\frac{1}{\ln(38^{4k}+31)} \approx\frac{\ln N+\gamma}{4\ln 38} \text{ donde }\gamma=0.57721566\ldots $$ y para el número esperado de números primos exceder de 1, necesitará $N$ en el orden de 1.200.000.

Por supuesto, usted podría tener suerte y encontrar en mucho menor $n$, pero a priori no veo ninguna razón en particular por lo que debe ser...o no.

Básicamente, en general, para los números de $a^n+b$, en el primer primer generalmente llegado bastante temprano, de lo contrario, a menudo muy tarde (o no si $a$ $b$ tienen un factor común).

Por supuesto, este argumento depende de asumir "pseudo aleatorios" el comportamiento de los números primos, por lo que no puede ser convertido en una prueba formal. Sin embargo, tal vez sea posible decir algo acerca de la distribución de $n$ valores dando el primer prime sobre los diferentes pares de $(a,b)$.

Answer 2

Primalidad de los números de la forma $a^n+b$ es un problema muy difícil en general. Por ejemplo, la existencia de los números primos de la forma $4294967296^n+1=(2^{32})^n+1$ es un viejo problema abierto en la teoría de los números (de la wiki), aunque también es fácil demostrar que esta puede ser una de las primeras sólo para $n$ de una forma especial (poderes de $2$). Su problema $2085136^n+31=(38^4)^n+31$ no parece mucho más fácil.

En otras palabras, una teoría basada en la respuesta a tu problema es muy improbable que en el futuro cercano. Para una práctica basada en la respuesta probablemente será necesario el uso de algún proyecto de la computación distribuida para la búsqueda de números primos como PrimeGrid, los cuales ha encontrado que la mayoría de los conocidos grandes números primos de la forma $ab^n+c$.

Answer 3

Este debe ser un comentario para @Einar Rødland, pero es demasiado largo, así que estoy haciendo de él una respuesta.

Su argumento da una heurística que debe haber un número infinito de números primos de esta forma, pero no estoy seguro de que yo creo y he aquí por qué:

Usted sólo teniendo en cuenta los dos primeros "malo" progresiones aritméticas cuando se restringe a mirar las cosas divisible por 4. De hecho, tenemos una infinidad de "malo" progresiones aritméticas tenemos que tirar.

Si hacemos el mismo argumento para los números de la forma $2^n + 1$ y sugerimos $n \equiv 1 \mod 2$$n \equiv 2 \mod 4$, ya que todo ser divisible por 3 o 5, entonces el funcionamiento de su argumento podría decir que nos espera una infinidad de números primos de esta forma. Sin embargo, si tenemos que tirar todos los "malos" de la aritmética secuencias (que en este caso son mucho más fáciles de clasificar), a continuación, sólo nos quedamos con $n = 2^k$, teniendo en cuenta su heurística da finito expectativa.

Estos dos problemas no parecen que diferente para mí en la superficie, y sin una mejor comprensión de la orden superior "malo" progresiones aritméticas, no es claro para mí lo que es el derecho heurística debe ser.