Esto es lo que encontré en mi edición rusa de este libro.
Lema 1. Sea $\mu$ sea una medida de Borel positiva en un espacio topológico localmente compacto $X$ y $A\subset X$ sea $\mu$ -conjunto medible con $\mu(A)>0$ . Supongamos para todo $\mu$ -medible $B\subset A$ o bien $\mu(B)=0$ o $\mu(B)=A$ entonces existe $a\in A$ tal que $\mu(A)=\mu(\{a\})$ .
Idea. Considere la intersección $P$ de todos los conjuntos compactos $K\subset A$ para que $\mu(K)=\mu(A)$ . Será el conjunto deseado.
Lema 2. Sea $\mu$ y $\nu$ sean dos medidas de Borel positivas sobre $\mathbb{R}$ . Supongamos que $\mu([a,b))=\nu([a,b))$ para todos $a<b$ . Entonces $\mu=\nu$ .
Lema 3. Sea $X$ sea un espacio topológico compacto y $\mu$ sea una medida de probabilidad no atómica positiva sobre $X$ . Entonces existe el mapa continuo $\pi:X\to I$ al intervalo unitario $I$ . Tal esa imagen de $\mu$ en $\pi$ es la medida de Lebesgue $\lambda$ en $I$ .
Boceto. Siguiendo la idea de la demostración del lema de Uryson construimos una familia de conjuntos abiertos $U(t)$ donde $t\in I$ tal que $U(0)=\varnothing$ , $U(1)=X$ , $\overline{U(t)}\subset U(t')$ para $t'<t$ y finalmente $\mu(U(t))=t$ para todos $t\in I$ . Utilizando el lema 1 podemos demostrar que las condiciones $V$ , $W$ dos abiertos $\mu$ -medible con $\overline{V}\subset W$ y $\mu(V)<\mu(W)$ implica la existencia de $\mu$ -conjunto abierto meausrable $U$ tal que $\overline{V}\subset U\subset\overline{U}\subset W$ tal que $1/3\mu(W\setminus V)\leq\mu(U\setminus V)\leq 2/3\mu(W\setminus V)$ . Ahora aplicamos el lema 2.
Teorema 1. Supongamos que se cumplen todos los supuestos del lema anterior más $X$ es metrizable, entonces existen $\mu$ -conjunto medible $N\subset X$ de medida $0$ y $\lambda$ -subconjunto medible $M\subset I$ de medida cero tal que tenemos un homeomorfismo $\pi:I\setminus M \to X\setminus N$ con la siguiente propiedad una vez $\pi$ se extiende de forma continua (de hecho, arbitrariamente) hasta $\varphi:I\to X$ y $\pi^{-1}$ ampliado de forma similar a $\psi:X\to I$ entonces $\varphi\circ\lambda=\mu$ y $\psi\circ\mu=\lambda$
Boceto. Para cada $n\in\mathbb{N}$ podemos encontrar una partición finita de $X$ formado por un conjunto de $\mu$ -medir $0$ y abrir $\mu$ -conjuntos medibles de diámetro $\leq1/n$ y medir $\leq 1/n$ . (No pregunte por qué $-$ esto es una larga historia) Entonces usando inducción y tomando el límite obtenemos existencia de mapa continuo $f:I\setminus S\to X$ (donde $S$ es contable) tal que $f\circ\lambda=\mu$ . Además $f$ puede elegirse como homeomorfismo de $I\setminus S$ en el subconjunto de $X$ de medida completa.
