Confusión de sustitución de Weierstrass $\tanh \frac{\theta}{2}$.

Question

Ya estoy familiarizado con el trigonométricas versión de esta sustitución $t = \tan \frac{\theta}{2}$ y geométricos de derivación que implican el círculo unidad encontrado aquí. Sin embargo, no estoy seguro de cómo la hiperbólica equivalentes (se muestra a continuación) se derivan.

$$t = \tanh \dfrac{\theta}{2} = \dfrac{\sinh \theta}{\cosh \theta + 1} = \dfrac{\cosh \theta - 1}{\sinh \theta}$$

$$\cosh \theta = \dfrac{1+t^2}{1-t^2}, \ \sinh \theta = \dfrac{2t}{1-t^2}$$ En la parte inferior de la página, se refiere a la proyección de el punto de $(\cosh \theta, \sinh \theta)$ que se encuentra a la derecha de la rama de una hipérbola en el eje desde el centro de la $(-1, 0)$ pero no estoy seguro de lo que esto significa.

¿Alguien puede proporcionar un geométricas tomar en la derivación de estos?

Answer 1

Aquí es el $(\cosh(\theta),\sinh(\theta))$ de la hipérbola y la línea de $(-1,0)$ a un punto en la hipérbola proyectada en el eje de % de $y$. La coordenada del punto es \left(0,\frac{\sinh(\theta)}{1+\cosh(\theta)}\right)=\left(0,\tanh\left(\frac\theta2\right)\right)

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Si $t=\dfrac{\sinh(\theta)}{1+\cosh(\theta)}$, entonces el $1-t^2=\dfrac{2}{1+\cosh(\theta)}$. Por lo tanto, $$\begin{align} \sinh(\theta)&=\dfrac{2t}{1-t^2}\\ \cosh(\theta)&=\dfrac{1+t^2}{1-t^2} \end {alinee el}$$