Serie infinita de $\sqrt 2$

Question

¿Qué es serie infinita $\sqrt 2$? No quiero decir fracción continua. Ese tipo de series como como $e, \pi,$ etcetera.

Answer 1

La generación de la función de la Central de los Coeficientes Binomialeses $$(1-4x)^{-1/2}=\sum_{k=0}^\infty\binom{2k}{k}x^k\etiqueta{1}$$ Podemos plug $x=\frac18$ a $(1)$ para obtener $$\begin{align} \sqrt2 &=\sum_{k=0}^\infty\binom{2k}{k}\frac1{8^k}\\ &=\sum_{k=0}^\infty\frac{(2k-1)!!}{4^kk!}\tag{2} \end{align}$$

---

Alternativamente, se podría conectar $x=-\frac14$ a $(1)$ y el doble del resultado para obtener $$\begin{align} \sqrt2 &=2\sum_{k=0}^\infty\binom{2k}{k}\left(-\frac14\right)^k\\ &=2\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!}\tag{3} \end{align}$$ Sin embargo, el error en la suma parcial de $(3)$$O\left(\frac1{\sqrt{k}}\right)$. El error en la suma parcial de $(2)$$O\left(\frac1{2^k\sqrt{k}}\right)$, lo que produce una convergencia mucho más rápida.

---

El uso de Fracciones continuas, obtenemos aproximaciones racionales a $\sqrt2$ que puede ser usado con $(1)$ para obtener otra serie de $\sqrt2$: $$\begin{array}{l} \sqrt2&=&\left(1-\frac48\right)^{-1/2}&=&\sum_{k=0}^\infty\binom{2k}{k}\frac1{8^k}\\ \sqrt2&=&\frac43\left(1-\frac4{36}\right)^{-1/2}&=&\frac43\sum_{k=0}^\infty\binom{2k}{k}\frac1{36^k}\\ \sqrt2&=&\frac75\left(1-\frac4{200}\right)^{-1/2}&=&\frac75\sum_{k=0}^\infty\binom{2k}{k}\frac1{200^k}\\ \sqrt2&=&\frac{24}{17}\left(1-\frac4{1156}\right)^{-1/2}&=&\frac{24}{17}\sum_{k=0}^\infty\binom{2k}{k}\frac1{1156^k}\\ \sqrt2&=&\frac{41}{29}\left(1-\frac4{6728}\right)^{-1/2}&=&\frac{41}{29}\sum_{k=0}^\infty\binom{2k}{k}\frac1{6728^k}\\ \sqrt2&=&\frac{140}{99}\left(1-\frac4{39204}\right)^{-1/2}&=&\frac{140}{99}\sum_{k=0}^\infty\binom{2k}{k}\frac1{39204^k}\\ \sqrt2&=&\frac{239}{169}\left(1-\frac4{228488}\right)^{-1/2}&=&\frac{239}{169}\sum_{k=0}^\infty\binom{2k}{k}\frac1{228488^k}\\ \end{array}$$

Answer 2

Como sugiere NovaDenizen, extensión de Taylor de $f(x) = \sqrt{x + 1}$ tiene un término general que escribir $$\frac{(-1)^{n-1} (2 n-3)\text{!!} x^n}{(2 n)\text{!!}}$$ Setting $x = 1$ then leads to $%$ $\sqrt{2}=\sum _{n=0}^{\infty } \frac{(-1)^{n-1} (2 n-3)\text{!!}}{(2 n)\text{!!}}$

Answer 3

Es muy fácil darle a la serie con irracionales términos. Así que intentemos por racional. Uno puede tener en cuenta que $\sqrt{2}\approx 1.41421356\dots$. Por lo tanto una serie infinita de $\sqrt{2}$ es %#% $de #% el único problema es el$$1+\frac{4}{10}+\frac{1}{10^2}+\frac{4}{10^3}+\frac{2}{10^4}+\frac{1}{10^5}+\frac{3}{10^6}+\frac{5}{10^7}+\frac{6}{10^8}+\cdots.$. No hemos dado una expresión explícita para el término de $\cdots$-th.

Si utilizamos la serie de Maclaurin para $n$, evaluado en $(1-x)^{-1/2}$, podemos obtener una serie explícita con términos racionales que converge a $x=1/2$.

Answer 4

Como se indica en las otras respuestas, utilizas la serie binomial $\sqrt{1+x}$. Sin embargo, $x=1$ está en el límite de la región de la convergencia, así que usted primero reducir el problema algebraicamente mediante la observación de, como robjohn se utiliza en su respuesta, $\sqrt2=(\frac12)^{-1/2}=(1-\frac12)^{-1/2}$ o con desplazamientos más pequeños como

$$\sqrt{2}=\frac32\sqrt{\frac89}=\frac32\sqrt{1-\frac19}=\frac32\left(1+\frac18\right)^{-\frac12}$$

o

$$\sqrt{2}=\frac75\sqrt{\frac{50}{49}}=\frac75\sqrt{1+\frac1{49}}=\frac75\left(1-\frac1{50}\right)^{-\frac12}$$

Con estos valores más pequeños para $x$ debajo de la raíz en cualquiera de esas 4 expresiones, convergencia de la serie binomial es mucho más rápido.

Answer 5

Sugerencia: Se puede uno considerar f (x) = (x+2)^(1/2) y encontrar la serie de Taylor de f de x = 0. La serie que le da una serie de 2^(1/2).