Problema calcular la distribución conjunta y marginal de dos distribuciones uniformes

Question

Supongamos que tenemos variable aleatoria $X_1$ distribuidos de la $U[0,1]$ $X_2$ distribuidos de la $U[0,X_1]$ donde $U[a,b]$ significa una distribución uniforme en el intervalo de $[a,b]$.

Yo era capaz de calcular conjunta pdf de $(X_1,X_2)$ y el marginal pdf de $X_1$.

$$ p(x_1,x_2) = \frac{1}{x_1}, \text{ for }\quad 0\le x_1\le 1, \quad 0\le x_2 \le x_1,$$

$$ p(x_1)= 1, \text{ for } \quad 0\le x_1\le 1.$$

Sin embargo, mientras que el cálculo marginal pdf de $X_2$ estoy encontrando límites problema. La resultante de la integral a través de la marginal de $X_2$ $\log(X_1)$ y los límites son de 0 a 1. Como $\log(X_1)$ no está definida para $X_1=0$, estoy frente a una dificultad.

Estoy equivocado somwhere? Gracias.

Answer 1

En la "marginación" integral, el límite inferior de $x_1$ no es $0$ $x_2$ (debido a la condición de #% de #% %).

Así que la integral debe ser:

$0<x_2<x_1$$

Han tropezado a través, lo que creo que es una de las partes más difíciles de Estadísticas integrales - determinación de los límites de integración.

Nota: Esto es consistente con la respuesta de Henry, el mío es el PDF, y es el CDF. Diferenciar su respuesta le da mina, que muestra que ambos estamos bien.

Answer 2

No debe tener $X_1$ en la distribución marginal de $X_2$

Esperaría obtener $P(X_2 \le x_2) = x_2 (1-\log(x_2))$ y por lo tanto el derivado da una densidad marginal de $-\log(x_2)$.

Esto viene de $P(X_2 \le x_2 |X_1=x_1) = 1$ si $x_1 \le x_2$ y $ P(X_2 \le x_2 |X_1=x_1) = \frac{x_2}{x_1}$ si $x_2 \le x_1$ por lo que la integral es $$P(X_2 \le x_2) = \int_{x_1=0}^{x_2} dx_1 + \int_{x_1=x_2}^{1} \frac{x_2}{x_1} dx_1$ $ $$ = \left[ x_1 \right]_{x_1=0}^{x_1=x_2} + \left[x_2 \log(x_1)\right]_{x_1=x_2}^{x_1=1} $ $ $$ = x_2 - 0 +x_2 \log(1) - x_2 \log(x_2) $ $ $$ = x_2 (1-\log(x_2))$ $