Si gcd (a,b)=1 y gcd (a,c)=1, entonces gcd (a,bc)=1

Question

¿Cómo puedo demostrarlo?

Si $\gcd(a,b)=1$ y $\gcd(a,c)=1$ entonces $\gcd(a,bc)=1$ . Estoy muy confundido con las pruebas de gcd.

Answer 1

Utilizando La identidad de Bezout :

Dado que hay $x,y,u,v$ para que $\color{#C00000}{ax+by=1}$ y $\color{#00A000}{au+cv=1}$ tenemos $$ \begin{align} \color{#C00000}{by}\color{#00A000}{cv} &=\color{#C00000}{(1-ax)}\color{#00A000}{(1-au)}\\ &=1-a(x+u-axu)\\ \color{#0000FF}{a}(x+u-axu)+\color{#0000FF}{bc}vy &=1 \end{align} $$ Por lo tanto, $(\color{#0000FF}{a},\color{#0000FF}{bc})=1$

Answer 2

Si conoces el Lemma de Euclides (si $p$ es un número primo y $p$ divide el producto $bc$ Entonces, o bien $p$ divide $b$ o $p$ divide $c$ ), se puede proceder de la siguiente manera. Sea $d=gcd(a,bc)$ y asumir, para llegar a una contradicción, que $d>1$ . Sea $p$ entonces es un número primo que divide a $d$ . Entonces $p$ divide ambos $a$ y $bc$ y, por lo tanto, o bien $p$ divide $b$ o divide $c$ . Si $p$ divide $b$ Entonces, como también divide $a$ se deduce que $p$ divide $gcd(a,b)=1$ lo cual es absurdo. De la misma manera, $p$ dividiendo $c$ lleva a una contradicción.

Observación: esta solución evita considerar la descomposición completa de los números primos para los números dados. Me parece un buen truco que produce pruebas limpias.

Answer 3

Desde $a, b$ son relativamente primos, existen enteros $x, y$ tal que $ax + by = 1$ . Multiplicando ambos lados de esta ecuación por $c$ obtenemos $$acx + bcy = c.$$ Dejar $d = \gcd(a, bc)$ vemos en la ecuación anterior que como $d$ es un divisor común de $a$ y $bc$ , $d$ también divide $c$ por linealidad. Entonces, como todo divisor común de dos enteros también divide su gcd, $d|\gcd(a, c)$ . Pero $\gcd(a, c) = 1$ Así que $d$ divide $1$ . Como el gcd es no negativo, se deduce que $d = \gcd(a, bc) = 1$ .

Answer 4

• $\gcd(a,b)=1$ significa que los factores primos comunes a ambos $a,b$ ?
• lo mismo para $\gcd(a,c)$
• cuál es la descomposición primaria de $bc$ si sabes lo que $b$ , $c$ ¿se descompone como?

Combinar todo junto...

Answer 5

$\gcd(a,b)$ significa que a y b son relativamente primos, es decir, que no hay otro factor común que no sea 1.

también sabes que $$\gcd(a,b) = 2^{\min(a_1,b_1)}.3^{\min(a_2,b_2)}.5^{\min(a_3,b_3)}...$$

Ahora las 2 ecuaciones ya implican que $$\min(a_1,b_1) = \min(a_2,b_2)=...= 0$$ (no hay factor común de los primos)

también $$\min(a_1,c_1) =\min(a_2,c_2)=... = 0$$

esto implica, $$\min(a_1,b_1+c_1)= \min(a_2,b_2+c_2)=...=0$$ ya que las potencias > 0, y la suma de ellas no puede ser < 0,

Esto implica que a,bc también son relativamente primos, por lo tanto $$\gcd(a,bc)=2^{\min(a_1,b_1+c_1)}.3^{\min(a_2,b_2+c_2)}...= 1$$

( $\min(a,b)$ representa aquí el valor mínimo de a,b)