¿Cuáles son las clases de números enteros algebraicos de grado $4$?

Question

No se que estoy totalmente de entender cuadrática entero de los anillos, pero me he estado preguntando acerca de cuarto grado entero de los anillos.

Lo que me lleva a la pregunta: ¿qué tipos de enteros algebraicos generar el cuarto grado entero de los anillos? Estoy bastante seguro de que sólo las raíces cuadradas de los squarefree enteros algebraicos son enteros de grado $2$. Así, por grado $4$, estos son los números que soy consciente de:

• Cuarto raíces de squarefree enteros con el primer factores, como $\root 4 \of 5$, $\root 4 \of 6$, etc. (por lo $-i$ no está entre estos, a pesar de ser una raíz cuarta de $1$).
• Las sumas de dos raíces cuadradas de coprime squarefree enteros, como $\sqrt 2 + \sqrt 3$, $\sqrt 5 + \sqrt 7$.

Lo que me estoy perdiendo?

Answer 1

Trate de una raíz Quinta no trivial de la unidad, siendo una raíz de $(x^5-1)/(x-1)$. Es, en definitiva, sin esperanza y no un uso racional del tiempo para intentar describir todos enteros algebraicos de grado 4.

También es incompleta la descripción de los enteros algebraicos de grado 2. Prueba $(1+\sqrt{5})/2$. Hay muchos ejemplos más donde que vinieran de.

Answer 2

Entre otras cosas, te falta $~2x~=~\sqrt{\alpha-\beta}~-~\sqrt{\beta-\alpha+\dfrac2{\sqrt{\alpha-\beta}}}~,~$ que, $~\alpha=\sqrt[3]{\dfrac12+\dfrac{\sqrt{849}}{18}}~$ y $~\beta=4~\sqrt[3]{\dfrac2{3(9+\sqrt{849})}}~,~$ es una de las soluciones de $x^4-x-1=0$.

El punto es, los fórmulas explícitos para los números enteros algebraicos de grado cuatro puede ser muy, muy complicado, mucho más complicado que para el grado dos.

$($ Para obtener otra versión de este número, escriba $x^4-x-1=0$ en Wolfram Alpha, y después le da una solución numérica, la pregunta para el form".$)$ exacto"

Answer 3

Yo elijo no ser intimidados por esta pregunta, aunque en algunos aspectos es desalentador, sin embargo mucho de lo que ha sido exagerados hasta el momento. Creo que muchas de estas algebraica de números enteros de grado $4$ puede ser reducido a $a + b \theta + c \theta^2 + d \theta^3$ donde $a, b, c, d$ son todos los números enteros, o tal vez todos los números racionales para satisfacer una determinada condición, y $\theta$ es un entero algebraico de grado $4$.

Algo me dice que es esta $\theta$ que realmente estás interesado en, a saber, su aparente ignorancia de la cuadrática enteros como $\omega$ $\phi$ a pesar de su demostrada con anterioridad conocimiento con ellos.

Es por estas $\theta$ que las cosas se ponen peludas. Lo que he construido hasta el momento, principalmente a partir de tu pregunta y comentarios:

• Cuarto raíces de números enteros, a condición de que no son perfectos poderes y no divisible por cualquier cuarto de poderes.
• Las sumas de dos raíces cuadradas de coprime squarefree enteros.
• Raíz cuadrada de un número entero más una raíz cuadrada.
• Tal vez la de un entero más una raíz cuadrada, dividida por el cuadrado de la raíz o el cubo de una raíz cuadrada?

Al menos no tenemos que preocuparnos acerca de Abel teorema de imposibilidad en este grado.