Probando los límites de un producto infinito

Question

Que $p$ ser un producto infinito, que $p = 2^{1/4}3^{1/9}4^{1/16}5^{1/25} ...$

Demostrar que $2.488472296 ≤ p ≤ 2.633367180$.

Empiezo este problema representando p en la notación de producto infinito: $$p = \displaystyle \prod_{k=2}^{\infty}k^{1/k^2} $ $

También definí el producto parcial $p_n = \displaystyle \prod_{k=2}^{n}k^{1/k^2} $

Tomando el logaritmo: $p_n = e^{\ln(p_n)} = e^{\sum_{k=2}^{n} \ln(k^{1/k^2})}$

No tengo idea cómo demostrarlo. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Que $f(x) = \frac{\ln(x)}{x^2}$, donde $x \in \mathbb{R}$

Desde $f$ es continua, decreciente y positiva para todos los valores de $x >3$. Entonces, podemos aplicar la estimación del resto para Integral test por lo tanto, por definición tenemos: $$\int_{n+1}^{\infty} f(x)dx + S_n \leq S \leq \int_n^{\infty}f(x)dx + S_n \ \ \ (*)$ $

Tenga en cuenta que $P_n = e^{S_n}$, donde $S_n = \sum_{k=2}^n \frac{\ln k}{k^2}$

Por lo tanto, puesto que $e$ siempre es aumentar la función, podemos multiplicar $e$ $ (*)$. Así obtenemos: $$\normalsize e^{\int_{n+1}^{\infty} f(x)dx + S_n} \leq P \leq e^{\int_n^{\infty}f(x)dx + S_n} $$ considere $n =5$. Con ayuda de programas informáticos, tenemos que: $2.488472296≤p≤2.633367180$.

Answer 2

Aquí es un pensamiento. Nota $$\log p_n = \sum_{k=2}^n \frac{\log k}{k^2}.$$ Interestingly, Mathematica gives the closed form value for this: $$p = \left(\frac{G^{12}}{2\pi e^{\gamma}}\right)^{\pi^2/6},$$ where $g # \approx 1.28243\ldots $ is the Glaisher constant, and $\gamma = \lim_{n \to \infty} H_n - \log n \approx 0.577216\ldots$ es constante de gamma de Euler.

Pero si sólo quiere conseguir límites, trataría de mirar de mejorar de alguna manera la convergencia de la serie o el uso de una aproximación integral.

Answer 3

En Resumen, tomar registros. Luego se dejan encontrar y límite de la serie $$ \sum_{n \geq 2} \frac{\log n}{n^2},$ $

que es bastante rápidamente convergente. El error de usar los primeros términos de $N$ % aproximadamente $1/N$, así que usando los primeros 20 términos será suficiente para probar sus desigualdades, por ejemplo.