Recientemente me preguntaron lo siguiente en una entrevista:
Si usted es un muy buen jugador de baloncesto, y estaba seguro de si podría hacer $2$ $4$ o $3$ $6$ cestas, que tomaría usted?
He dicho todos, ya que la proporción es la misma. Cualquier conocimiento?
La explicación es muy intuitivo:
Si usted no es muy buena (la probabilidad de que usted hacer un solo disparo - p < 0.6), entonces su probabilidad general no es muy alta, pero es mejor apostar que usted va a hacer 2 de 4, porque usted puede hacerlo sólo por el azar y su torpeza tiene menos oportunidad de probar en 4 que en 6 intentos.
Si usted está realmente buena (p > 0.6), entonces es mejor apostar en 3 de los 6, porque si usted pierde sólo por casualidad, usted tiene una mejor oportunidad para corregir usted mismo en 6 intentos.
Las curvas de cumplir exactamente en p = 0.6.
Esto se ilustra mejor en el caso extremo:
Con más intentos, es casi binario caso - o a tener éxito o no, con base en su habilidad. Con alta N, el resultado será cerca de su original a la expectativa.
Tenga en cuenta que con alta N y p = 0.5, la distribución binomial se reduce y, converge a la distribución normal.
lo cual nos indica que la probabilidad de que la puntuación exactamente k tiros de n es
$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$
The probability that you will score at least k = n/2 shots (and win the bet) is then
$$P(X \ge k) = \sum^{n}_{i=k} \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}$$
Vistazo a las siguientes parcelas:
Estas parcelas son para p = 0.5. La distribución binomial es simétrica para este valor. Intuitivelly, esperar 2 de 4 o 3 de 6 la mitad de la distribución. Pero si nos fijamos especialmente en la izquierda de la parcela, es claro que la columna del medio (2 tiros acertados) va mucho más allá de la media de la distribución (línea discontinua), el cual es indicado por la flecha roja. En el derecho de la parcela (3/6), esta proporción es mucho menor.
Si usted suma los lingotes de oro, se obtiene:
P(make at least 2 out of 4) = 0.6875
P(make at least 3 out of 6) = 0.65625
P(make at least 500 out of 1000) = 0.5126125
A partir de estas cifras, así como de las parcelas, es evidente que con alta N, la proporción de la distribución "más allá de la mitad" converge a cero, y el total de la probabilidad converge a 0.5.
Así, las curvas se reúnen para baja Ns, p debe ser mayor para compensar esto:
P(make at least 2 out of 4) = 0.8208
P(make at least 3 out of 6) = 0.8208
Código completo en R:
f6 <- function(p) {
dbinom(3, 6, p) +
dbinom(4, 6, p) +
dbinom(5, 6, p) +
dbinom(6, 6, p)
}
f4 <- function(p) {
dbinom(2, 4, p) +
dbinom(3, 4, p) +
dbinom(4, 4, p)
}
fN <- function(p, from, max) {
#sum(sapply(from:max, function (x) dbinom(x, max, p)))
s <- 0
for (i in from:max) {
s <- s + dbinom(i, max, p)
}
s
}
f1000 <- function (p) fN(p, 500, 1000)
plot(f6, xlim = c(0,1), col = "red", lwd = 2, ylab = "", main = "Probability that you will make ...", xlab = "p (probability you make a single shot)")
curve(f4, col = "green", add = TRUE, lwd = 2)
curve(f1000, add = TRUE, lwd = 2, col = "blue")
legend("topleft", c("2 out of 4", "3 out of 6", "500 out of 1000"), lwd = 2, col = c("green", "red", "blue"), bty = "n")
plotHist <- function (n, p) {
plot(x=c(-0.5,n+0.5),y=c(0,0.41),type="n", xaxt="n", xlab = "successful shots", ylab = "probability",
main = paste0(n/2, "/", n, ", p = ", p))
axis(1, at=0:n, labels=0:n)
x <- 0:n
y <- dbinom(0:n, n, p)
w <- 0.9
#lines(0:4, dbinom(0:4, 4, 0.5), lwd = 50, type = "h", lend = "butt")
rect(x-0.5*w, 0, x+0.5*w, y, col = "lightgrey")
uind <- (n/2+1):(n+1)
rect(x[uind]-0.5*w, 0, x[uind]+0.5*w, y[uind], col = "gold")
}
par(mfrow = c(1, 2))
plotHist(4, 0.5)
abline(v = 2, lty = 2)
arrows(2-0.5*0.9, 0.17, 2, 0.17, col = "red", code = 3, length = 0.1, lwd = 2)
plotHist(6, 0.5)
f4(0.5)
f6(0.5)
f1000(0.5)
par(mfrow = c(1, 2))
plotHist(4, 0.6)
plotHist(6, 0.6)
f4(0.6)
f6(0.6)
La probabilidad de conseguir al menos la mitad aumenta con el número de disparos. E. g. con una probabilidad de 2/3 por disparo de la probabilidad de obtener al menos la mitad de las cestas aumenta de la siguiente manera.
Editar es importante señalar que esto sólo vale si por un "muy buen jugador de baloncesto" te refieres a tu oportunidad de hacer una cesta es algo mejor que la de iguala (en el rango de 0.6 a 1 exclusivo). Esto se ve muy claramente en Hagen von Eitzen la respuesta.
Una forma intuitiva de ver esto es que es como un efecto de la diversificación. Con sólo un par de cestas, usted podría tener mala suerte, como si se trató de recoger sólo un par de acciones de una cartera de inversiones, incluso si usted era un buen stock selector. Aumentar el número de cestas -- o acciones-y el papel del azar es reducido y su habilidad brilla a través.
Formalmente, suponiendo que
cada lanzamiento es independiente, y
usted tiene la misma probabilidad de $p$ de la puntuación en cada tiro
usted puede modelar la oportunidad de anotar $b$ cestas de $n$ el uso de la distribución binomial
$$ \mathbb{P}(b \text{ from } n) = \binom{n}{b} p^{b}(1-p)^{n-b} $$
Para obtener la probabilidad de que la puntuación de al menos la mitad de la $n$ cestas, usted tiene que añadir dichos probilities. E. g. durante al menos 2 de 4 desee $\mathbb{P}(2 \text{ from } 4) + \mathbb{P}(3 \text{ from } 4) + \mathbb{P}(4 \text{ from } 4)$.
Depende. Si su probabilidad de perder en un solo intento es $p$ (que debe ser baja si usted es un "muy buen" jugador de baloncesto), entonces el probaility de menos a dos de las cuatro cestas (es decir, a perder el primer tipo de apuesta) es $$ p_2=p^4+4p^3(1-p)=p^3(4-3p)$$ y por menos de tres de las seis (es decir, pierde la segunda apuesta) es $$ p_3=p^6+6p^5(1-p)+15p^4(1-p)^2=p^4(10p^2-24p+15).$$ Tenemos $p_2<p_3$ fib $$p^3(4-3p)<p^4(10p^2-24p+15)$$ es decir, $$0<10p^6-24p^5+18p^4-4p^3=p^3(1-p)^2(10p-4).$$ En otras palabras: El "2 de 4" la apuesta es preferible al $0<p<\frac2{5}$ e "3 de 6" es preferible al $\frac{2}{5}<p<1$. Para $p\in\{0,\frac2{5},1\}$ las apuestas son equivalentes.
Me gustaría saber cuál es mi promedio a largo plazo.
Si hago 333 de 999 en el transcurso de una temporada, yo sé que el más fotos que tome, más seguro estoy de que la regresión a la media hará que sea menos probable que te voy a pegar una proporción de 2:3 o mejor. Me encuentro una mejor oportunidad de dos o tres suerte de tiros de tres que tengo que hacer 4 o más de 6, y sin duda mejor que el de 40 o más de los 60. Más fotos es mala, ya que la buena suerte no puede salvarme de mi promedio a largo plazo.
Por otro lado, si hago 750 de 1000 en una temporada, la regresión a la media que funciona para mí si puedo tomar más fotos. Llegar 1 o ninguno de los 3 no sería ninguna sorpresa, pero 3 o menos de 6 y menos y 39 años o menos de 60 sería un mal día, de hecho.
Asumiendo que tiene un $50/50$ de probabilidad de que falta o lo que es (aunque podría ser cualquier otra cosa en realidad, los cálculos cambiar en consecuencia), se puede ver tanto en los escenarios como binario permutaciones, como un medio de averiguar la respuesta. Ahora en inglés:
Digamos que usted tiene $4$ bolas (este es el primer caso), sería necesaria (con el fin de tener éxito) para hacer $2$ tiros. Permite definir: cuando usted realiza un disparo de esa bola era una bola roja. Cuando se olvida, que la bola era una bola azul. Ahora no importa el orden en que hacer sus tiros a la derecha? Usted puede hacer los dos primeros, luego de perder dos, hacer uno, falta uno, hacer uno, te pierdas la última, etc. Todo lo que importa es que usted tiene dos bolas de color azul y dos bolas rojas.
Así que la pregunta es ¿de cuántas maneras distintas se puede organizar $2$ bolas rojas y $2$ bolas de color azul? Bueno, esto es sólo una combinación de: a saber, $\binom{4}{2}$ (lee $4$ elija $2$): es decir, la respuesta es $6$. Pero vamos a ver, hay otros resultados! Por ejemplo, usted podría hacer todas las capturas de la inflamación (por lo $4/4$), pero creo que sólo wan no ($2/4$) lo que la probabilidad de obtener el resultado que deseo es: ($2$ red $2$ bola azul permutaciones)/(total de posibilidades). yo.e $\binom{4}{2}/(\binom{4}{0}+\binom{4}{1}+\binom{4}{2}+\binom{4}{3}+\binom{4}{4})$. que es: $1/4$. Así que para el primer caso (dado que faltan y hacer el tiro compartir la misma probabilidad), haciendo de $2$ fuera de cuatro tiros, es precisamente que va a suceder $1/4$ del tiempo.
Del mismo modo, para la $3/6$ tenemos: $\binom{6}{3}/ (\binom{6}{0}+\binom{6}{1}+…) = 0.3125$. Aviso de $0.25 < 0.3125$ claramente: se tendrá una mejor oportunidad de hacer precisamente $3/6$ tiros de $2/4$ tiros. Una explicación intuitiva detrás de esto es que desde $6$ tiros son más de $4$, si te metes un poco en el $6$ inyección caso, es más probable que todavía se puede hacer para que, de con $4$ tiros. Por supuesto, si tu pregunta era: hacer al menos $3/6$ tiros frente a por lo menos $2/4$ tiros, entonces los cálculos sería un poco diferente. ¿Cómo combate usted averiguar lo que sus probabilidades son de que en ese caso?
Por cierto, si $\binom{n}{k}$ negocio es nuevo para usted, le sugiero que busque permutaciones y combinaciones (y su vínculo con la probabilidad)!
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