Es divisible por un cuerpo algebraicamente cerrado $\mathrm{GL}_n(K)$ $K?$

Question

Esta es una pregunta de seguimiento a este. Reiterar la definición, un grupo de $G$ (posiblemente no abelian) es divisible cuando para todos los $k\in \Bbb N$ $g\in G$ existe $h\in G$ tal que $g=h^k.$ Deje $K$ ser un algebraicamente cerrado de campo. Para que $n$ $\mathrm{GL}_n(K)$ divisible? (Esto es claramente cierto para$n=0$$n=1$.) Los enlaces pregunta es sobre el caso de $K=\Bbb C$ y la respuesta es "para todos los $n$".

Answer 1

${\rm GL}(n,K)$ no es divisible cuando tiene un $K$ % característica finita $p$y $n >1.$ la orden máxima de un elemento de orden de potencia $p$ ${\rm GL}(n,K)$ $p^{e+1},$ donde $p^{e} < n \leq p^{e+1}$ ($e$ un entero positivo). Hay un elemento de esa orden, y no es el poder de $p$-th de cualquier elemento de ${\rm GL}(n,K).$