Hace unos dos años, durante una clase de cálculo del segundo semestre, mi profesor comentó que $\int\sin(x^2)\,dx$ no podía integrarse. Un poco desafiante, intenté (en vano) demostrar que estaba equivocado. Aunque mis esfuerzos (obviamente) no tuvieron éxito, sí que me di cuenta de que: $$\int_a^bf(g(x))\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)}f(x)\frac{d}{dx}(g^{-1}(x))\,dx$$
Se mantendrá si $g(x)$ es estrictamente creciente o estrictamente decreciente en el intervalo de $a$ a $b$ .
Al principio lo resolví por intuición, pero hace poco decidí que intentaría demostrarlo formalmente. Lo que tengo hasta ahora es lo siguiente.
Dejemos que $a \in \mathbb{R}$ , $b \in \mathbb{R}$ con $a < b$ .
Dejemos que $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ y $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sean funciones tales que $g'(x) > 0$ para $a < x < b$ .
Dejemos que $P_n = \{[x_0,x_1],[x_1,x_2],...,[x_{n-1},x_n]\}$ sea una partición de $[a,b]$ , de tal manera que $\lim_{n\to\infty} x_{i} - x_{i-1} = 0$ para cualquier $i \in \mathbb{N}$ .
Entonces: $$\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n (f(g(x_i)))(x_i-x_{i-1}) = \int_a^b f(g(x))\,dx$$
Dejemos que $S_n = \{[g(x_0),g(x_1)],[g(x_1),g(x_2)],...,[g(x_{n-1}),g(x_n)]\}$ sea una partición de $[g(a),g(b)]$ .
En este punto planeé mostrar: $$(f(g(x_i))\frac{d}{dx}g^{-1}(g(x_i)))(g(x_i)-g(x_{i-1})) = (f(g(x_i)))(x_i-x_{i-1})$$ Tengo la intuición de que esto funcionaría, pero no veo cómo hacerlo realmente. Siento que me falta algo obvio, sólo que no puedo decir qué es.
Con ese resultado pensaba terminar la prueba demostrando que \begin{align}\int_{g(a)}^{g(b)}f(x)\frac{d}{dx}(g^{-1}(x))\,dx =& \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n (f(g(x_i))\frac{d}{dx}g^{-1}(g(x_i)))(g(x_i)-g(x_{i-1}))\\ =& \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n (f(g(x_i)))(x_i-x_{i-1})\\ =&\int_a^bf(g(x))\,dx\end{align}
Tengo una idea bastante buena de cómo haría estos últimos pasos, es sólo mostrar esa igualdad que me está haciendo tropezar.
Así que mi pregunta es ¿cómo podría completar esta prueba o modificarla para que se pueda completar fácilmente? O si la afirmación original es errónea, por favor proporcione un contraejemplo. Sé que probablemente se podría obtener este resultado a través de la sustitución, pero quería intentar obtenerlo con sumas de Riemann para practicar.
