Límite de función integrable de Lebesgue

Question

Que $f$ sea una real valor, función integrable de Lebesgue en $\mathbb{R}$. Demostrar que

$$\lim_{t \to 0} \int_{\mathbb R} |f(x+t)-f(x)|\, dx=0.$$

Answer 1

Si $f$ eran continuos y de forma compacta compatible (por un conjunto compacto $K$) sería muy fácil de usar el teorema de convergencia dominada, con la dominación $$ |t| < 1 \implica |f(x+t)|\le 1_K(x+t) \max |f| \le \sup_{t\en[-1,1]} 1_K(x+t)\max |f| $$

Deje $\epsilon>0$. A continuación, puede encontrar algunos continuo, compacto, admite la función $f_\epsilon$ como $$ \int |f_\epsilon(x) - f(x)| dx <\frac \epsilon 3 $$

A continuación, puede utilizar las propiedades de $f_\epsilon$ a demostrar que si $|t|$ es lo suficientemente pequeño como: $$ \int |f_\epsilon(x+t) - f_\epsilon(x)| dx < \frac \epsilon3 $$

Entonces $$\begin{align} \int |f(x+t) -& f(x)| dx \le \int |f(x+t) - f_\epsilon(x+t)|dx +\\ &\int |f_\epsilon(x+t) - f_\epsilon(x)| dx + \int |f_\epsilon(x) - f(x)|dx < \epsilon \end{align}$$

Answer 2

Vamos a probar primero el resultado al $f$ es continua y compacta compatible.

Deje que el apoyo de $f$ $[-a,a]$ y $f$ es asumido de forma continua (y compacto compatible), tiene que ser delimitada $\vert f\vert \leq M$ e al $t$ es pequeña ($\vert t \vert < 1)$) tenemos

$$\int_{\mathbb{R}} \vert f(x+t) - f(x) \vert dx = \int_{[-a-1, a+1]}\vert f(x+t) - f(x) \vert dx$$

Ahora, observa que el $\vert f(x+t) - f(x) \vert \leq 2M$ $2M$ es integrable en a $[-a-1, a+1]$. Por lo tanto, por Lebesgue Teorema de Convergencia Dominada,

\begin{align} \lim_{t \to 0} \int_{\mathbb{R}} \vert f(x+t) - f(x) \vert dx &= \lim_{t \to 0}\int_{[-a-1, a+1]}\vert f(x+t) - f(x) \vert dx \\&= \int_{[-a-1, a+1]}\lim_{t \to 0}\vert f(x+t) - f(x) \vert dx \\&= 0 \end{align}

Ahora, cuando $f$ no es continua o de forma compacta compatible pero Lebesgue integrable, podemos aproximar con $f_{\epsilon}$ que es continua y compacta compatible tal que $\int \vert f - f_{\epsilon} \vert < \epsilon/2$. Y,

$$\vert f(x+t) - f(x) \vert \leq \vert f(x+t) - f_{\epsilon}(x+t) \vert + \vert f_{\epsilon}(x+t) - f_{\epsilon}(x) \vert + \vert f(x) - f_{\epsilon}(x) \vert $$

La suma de las integrales de 1er y 3er términos están a menos de $\epsilon$. Y como $f_{\epsilon}$ es continuo y compacto compatible, por los argumentos anteriores de la integral de 2º plazo va a$0$$t \to 0$. Por lo tanto,

$$\lim_{t \to 0} \int_{\mathbb{R}} \vert f(x+t) - f(x) \vert dx = 0 $$