¿Es posible mostrar $f(z) \le 2 \sqrt{ \varepsilon} f(y)$ si $z < \varepsilon y$ para $f(x) = \sqrt{|x|\log \frac{1}{|x|}}$ ? Me gustaría utilizar esta desigualdad en una demostración pero no sé si es cierta y cómo puedo demostrarla.
¡Cualquier sugerencia sería genial!
En primer lugar, para $0<z<1$ tenemos $\log{z}<0$ que es un problema para definir $\sqrt{\log{z}}$ . Como resultado $z\geq 1$ o, en términos de $f(x)$ , deberíamos tener $\log{\frac{1}{|x|}}\geq 0 \Rightarrow \frac{1}{|x|}\geq 1 \Rightarrow 0< |x|\leq 1$ . Este es el dominio de $f(x)$ .
Obviamente $f(x) \geq 0$ , $f(1)=f(-1)=0$ . También $f(x)=f(-x)$ como resultado podemos restringir el estudio a $0< x\leq 1$ (el otro lado es simétrico).
Función $f(x)$ tiene un máximo en $x=\frac{1}{e}$) y está ascendiendo en $\left(0,\frac{1}{e}\right)$ . Esto significa que para $$0<z<y<\varepsilon y \leq \frac{1}{e} \Rightarrow f(z) \leq f(y) < 2\sqrt{\varepsilon}f(y)$$
Sin embargo, si seguimos asumiendo que la desigualdad es cierta para todo el $0< x\leq 1$ :
Por lo tanto, no hay una respuesta definitiva mientras mantengamos todo el dominio $0< |x|\leq 1$ se requieren más restricciones.
¡Gracias! Es una pena que no haya una respuesta definitiva. Así que no puedo usar esta desigualdad. Pero usted asumió que $\varepsilon >1$ ¿No es así? Así que creo que para $\varepsilon >0$ todo el problema se vuelve mucho más complicado, si no imposible. Lo intentaré de nuevo. Tal vez pueda dar más restricciones.
Para el primer caso positivo en $(0,\frac{1}{e})$ - Sí, $\varepsilon >1$ . Sin embargo, para el segundo y tercer caso negativo $\varepsilon < 1$ . Sí, probablemente se podría obtener un resultado estable restringiendo aún más los dominios de $f(x)$ y $\varepsilon$ .
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Utilice el hecho de que $\log{x}$ es una función ascendente.